【題目】已知數(shù)列{an}中,a1=1,an>0,前n項和為Sn,若(n∈N*,且n≥2).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)記,求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.
【答案】(1) an=2n﹣1;(2) Tn.
【解析】
(1)根據(jù)題意,有an=Sn﹣Sn﹣1,結(jié)合分析可得1,則數(shù)列{}是以1為首項,公差為1的等差數(shù)列,由等差數(shù)列的通項公式可得1+(n﹣1)=n,則Sn=n2,據(jù)此分析可得答案;
(2)由(1)的結(jié)論可得cn=(2n﹣1)×22n﹣1;進而可得Tn=1×2+3×23+5×25+……+(2n﹣1)×22n﹣1,由錯位相減法分析可得答案.
(1)數(shù)列{an}中,an=Sn﹣Sn﹣1,(n∈N*,且n≥2)①
,(n∈N*,且n≥2)②
①÷②可得:1,
則數(shù)列{}是以1為首項,公差為1的等差數(shù)列,
則1+(n﹣1)=n,
則Sn=n2,
當n=1時,a1=S1=1,
當n≥2時,an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣1,
a1=1也符合該式,
則an=2n﹣1;
(2)有(1)的結(jié)論,an=2n﹣1,
則cn=(2n﹣1)×22n﹣1;
則Tn=1×2+3×23+5×25+……+(2n﹣1)×22n﹣1,③;
則4Tn=1×23+3×25+5×27+……+(2n﹣1)×22n+1,④;
③﹣④可得:﹣3Tn=2+2(23+25+……+22n﹣1)﹣(2n﹣1)×22n+1(2n)×22n+1,
變形可得:Tn.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓的一個頂點與拋物線的焦點重合,、分別是橢圓的左、右焦點,其離心率橢圓右焦點的直線與橢圓交于、兩點.
(1)求橢圓的方程;
(2)是否存在直線,使得?若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某景區(qū)的各景點從2009年取消門票實行免費開放后,旅游的人數(shù)不斷地增加,不僅帶動了該市淡季的旅游,而且優(yōu)化了旅游產(chǎn)業(yè)的結(jié)構(gòu),促進了該市旅游向“觀光、休閑、會展”三輪驅(qū)動的理想結(jié)構(gòu)快速轉(zhuǎn)變.下表是從2009年至2018年,該景點的旅游人數(shù)(萬人)與年份的數(shù)據(jù):
第年 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
旅游人數(shù)(萬人) | 300 | 283 | 321 | 345 | 372 | 435 | 486 | 527 | 622 | 800 |
該景點為了預(yù)測2021年的旅游人數(shù),建立了與的兩個回歸模型:
模型①:由最小二乘法公式求得與的線性回歸方程;
模型②:由散點圖的樣本點分布,可以認為樣本點集中在曲線的附近.
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù),求模型②的回歸方程.(精確到個位,精確到0.01).
(2)根據(jù)下列表中的數(shù)據(jù),比較兩種模型的相關(guān)指數(shù),并選擇擬合精度更高、更可靠的模型,預(yù)測2021年該景區(qū)的旅游人數(shù)(單位:萬人,精確到個位).
回歸方程 | ① | ② |
30407 | 14607 |
參考公式、參考數(shù)據(jù)及說明:
①對于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計分別為.②刻畫回歸效果的相關(guān)指數(shù);③參考數(shù)據(jù):,.
5.5 | 449 | 6.05 | 83 | 4195 | 9.00 |
表中.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,已知直線的參數(shù)方程為.以坐標原點為極點,軸的非負半軸為極軸,取相同的長度單位建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.
(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程;
(2)若曲線上的點到直線l的最大距離為,求實數(shù)的值.
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【題目】某校教務(wù)處對學(xué)生學(xué)習(xí)的情況進行調(diào)研,其中一項是:對“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)”的態(tài)度是否與性別有關(guān),可見隨機抽取了30名學(xué)生進行了問卷調(diào)查,得到了如下聯(lián)表:
男生 | 女生 | 合計 | |
喜歡 | 10 | ||
不喜歡 | 8 | ||
合計 | 30 |
已知在這30人中隨機抽取1人,抽到喜歡“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)”的學(xué)生的概率是.
(1)請將上面的列聯(lián)表補充完整(在答題卷上直接填寫結(jié)果,不需要寫求解過程);
(2)若從喜歡“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)”的女生中抽取2人進行調(diào)研,其中女生甲被抽到的概率為多少?(要寫求解過程)
(3)試判斷是否有95%的把握認為喜歡“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)”與性別有關(guān)?
附:,其中.
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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【題目】在我們的教材必修一中有這樣一個問題,假設(shè)你有一筆資金,現(xiàn)有三種投資方案供你選擇,這三種方案的回報如下:
方案一:每天回報元;
方案二:第一天回報元,以后每天比前一天多回報元;
方案三:第一天回報元,以后每天的回報比前一天翻一番.
記三種方案第天的回報分別為,,.
(1)根據(jù)數(shù)列的定義判斷數(shù)列,,的類型,并據(jù)此寫出三個數(shù)列的通項公式;
(2)小王準備做一個為期十天的短期投資,他應(yīng)該選擇哪一種投資方案?并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為踐行“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念和提高生態(tài)環(huán)境的保護意識,高二年級準備成立一個環(huán)境保護興趣小組.該年級理科班有男生400人,女生200人;文科班有男生100人,女生300人.現(xiàn)按男、女用分層抽樣從理科生中抽取6人,按男、女分層抽樣從文科生中抽取4人,組成環(huán)境保護興趣小組,再從這10人的興趣小組中抽出4人參加學(xué)校的環(huán)保知識競賽.
(1)設(shè)事件為“選出的這4個人中要求有兩個男生兩個女生,而且這兩個男生必須文、理科生都有”,求事件發(fā)生的概率;
(2)用表示抽取的4人中文科女生的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】以直角坐標系的原點為極點,x軸的非負半軸為極軸,建立極坐標系,并在兩種坐標系中取相同的長度單位,已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),圓C的極坐標方程為
(1)求直線l和圓C的直角坐標方程;
(2)若點在圓C上,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),其中.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當時,試證明:函數(shù)有且僅有兩個零點,且.
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