Question

有一塊邊長(zhǎng)為4米的正方形鋼板，現(xiàn)對(duì)其進(jìn)行切割，焊接成一個(gè)長(zhǎng)方體無(wú)蓋容器（切、焊損耗忽略不計(jì)），有人用數(shù)學(xué)知識(shí)作了如下設(shè)計(jì)：在鋼板的四個(gè)角處各切去一個(gè)小正方形，剩余部分圍成長(zhǎng)方體。
（Ⅰ）求這種切割、焊接而成的長(zhǎng)方體的最大容積.
（Ⅱ）請(qǐng)問(wèn)：能重新設(shè)計(jì)，使所得長(zhǎng)方體的容器的容積嗎？若能、給出你的一種設(shè)計(jì)方案。

Answer 1

（Ⅰ）(m³)；（Ⅱ）能（參考解析）

試題分析：（Ⅰ）根據(jù)題意可得假設(shè)每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為x.則通過(guò)折疊可得一個(gè)無(wú)蓋的正方體.所以可以求出正方體的體積的表達(dá).通過(guò)求導(dǎo)可求得體積的最大值.
（Ⅱ）本小題的設(shè)計(jì)較困難.通過(guò)對(duì)比和體積公式的應(yīng)用可以假設(shè)出較多的方案.本小題的設(shè)計(jì)方案具有一定的技巧性.
試題解析：（1）設(shè)切去的小正方形邊長(zhǎng)為x.則.所以.所以當(dāng)時(shí). .當(dāng)時(shí). .所以當(dāng)時(shí). (m³).
(2)能.如圖所示.先在在正方形一邊的兩個(gè)角出各切下一個(gè)邊長(zhǎng)為1米的小正方形.再將這兩個(gè)小正方形焊接在另一邊的中間.然后焊接成長(zhǎng)方形容器.此時(shí). .