Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足a₁=，a_n+2S_nS_n-1=0（n≥2）．
（1）判斷是否為等差數(shù)列？并證明你的結論；
（2）求S_n和a_n；
（3）求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=-2S_nS_n-1，兩邊同除以S_nS_n-1，可得，從而可得為等差數(shù)列；
（2）由（1）知是以首項為2，公差為2的等差數(shù)列，從而可得S_n，利用a_n+2S_nS_n-1=0（n≥2），可求a_n；
（3）利用，表示S₁²+S₂²+…+S_n²，利用放縮法變?yōu)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024190259766524865/SYS201310241902597665248021_DA/4.png">，從而利用裂項法求和，即可證得．
解答：解：（1）S₁=a₁=，∴
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=-2S_nS_n-1，∴
∴為等差數(shù)列，首項為2，公差為2…（4分）
（2）由（1）知=2+（n-1）×2=2n，∴…（6分）
當n≥2時，
∴…（9分）
（3）==…（13分）
點評：本題的考點是數(shù)列與不等式的綜合，主要考查數(shù)列的通項的求解，關鍵是利用當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，巧妙構建新數(shù)列，同時考查放縮法，考查裂項法求和，有一定的綜合性．