Question

已知圓錐的底面半徑r=2，半徑OM與母線SA垂直，N是SA中點，NM與高SO所成的角為α，且tanα=2
（1）求圓錐的體積；
（2）求M，N兩點在圓錐側面上的最短距離．

Answer 1

分析：（1）設OA中點C，連接NC、CM，利用直線與平面所成角的定義得∠MNC即為NM與高SO所成的角α再結合條件解三角形得出高長，最后利用錐體體積公式求得圓錐的體積；
（2）最短距離的問題首先應轉化為圓錐的側面展開圖的問題，轉化為平面上兩點間的距離的問題．需先算出圓錐側面展開圖的扇形半徑．看如何構成一個三角形，然后根據余弦定理進行計算．

解答：解：（1）設OA中點C，連接NC、CM，則NC∥SO，
故∠MNC即為NM與高SO所成的角α，（2分）
又NC⊥MC且tanα=2所以MC=2NC=SO，（4分）
又MC=

OM2+OC2

=

22+12

=

5

，即SO=

5

，（5分）
從而圓錐的體積V=

1

3

Sh=

1

3

π•22•

5

=

4 5 π

3

（7分）
（2）作圓錐的側面展開圖，線段MN即為所求最短距離．（8分）
由已知OM⊥SO，OM⊥SA⇒OM⊥OA，
故M是弧AB的中點，即M是扇形弧的

1

4

點．（10分）
因為扇形弧長即為圓錐底面周長4π，
由（1）知SO=

5

，OA=2，所以母線SA=3，
從而扇形的中心角為

4π

3

，所以∠MSA=

π

3

（12分）
在三角形MSA中SN=

3

2

，SM=3，∠NSM=

π

3

，由余弦定理得MN=

3 3

2

（14分）

點評：本題考查了求圓錐的體積、多面體和旋轉體表面上的最短距離問題，主要根據幾何體的結構特征、直角三角形、題中的條件，求出錐體的母線長和高，進而求出對應的值，考查了分析和解決問題的能力．本題需注意最短距離的問題最后都要轉化為平面上兩點間的距離的問題．