Question

【題目】如果y=f（x）的定義域?yàn)镽，對(duì)于定義域內(nèi)的任意x，存在實(shí)數(shù)a使得f（x+a）=f（﹣x）成立，則稱此函數(shù)具有“P（a）性質(zhì)”．給出下列命題：

①函數(shù)y=sinx具有“P（a）性質(zhì)”；

②若奇函數(shù)y=f（x）具有“P（2）性質(zhì)”，且f（1）=1，則f（2015）=1；

③若函數(shù)y=f（x）具有“P（4）性質(zhì)”，圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）成中心對(duì)稱，且在（﹣1，0）上單調(diào)遞減，則y=f（x）在（﹣2，﹣1）上單調(diào)遞減，在（1，2）上單調(diào)遞增；

④若不恒為零的函數(shù)y=f（x）同時(shí)具有“P（0）性質(zhì)”和“P（3）性質(zhì)”，函數(shù)y=f（x）是周期函數(shù)．

其中正確的是 （寫出所有正確命題的編號(hào)）．

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

試題分析：①∵，∴函數(shù)具有“性質(zhì)”；∴①正確；②∵若奇函數(shù)具有“性質(zhì)”，∴，∴，周期為，∵，，∴②不正確；③∵若函數(shù)具有“性質(zhì)”，∴，∴關(guān)于對(duì)稱，即，∵圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，∴，即，∴，為偶函數(shù)，∵圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，且在上單調(diào)遞減，∴圖象也關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，且在上單調(diào)遞減，由偶函數(shù)的對(duì)稱得出：在上單調(diào)遞增；故③正確；④∵“性質(zhì)”和“性質(zhì)”，∴，，∴為偶函數(shù)，且周期為，故④正確．