Question

已知在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，點(diǎn)P（x，y）在曲線C：為參數(shù)，θ∈R）上運(yùn)動(dòng)．以O(shè)x為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為．
（Ⅰ）寫出曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在曲線C上移動(dòng)，試求△ABM面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先將原極坐標(biāo)方程利用三角函數(shù)的和角公式后再化成直角坐標(biāo)方程，再利用消去參數(shù)θ得到曲線C的直角坐標(biāo)方程．
（2）欲求△ABM面積的最大值，由于AB一定，故只要求AB邊上的高最大即可，根據(jù)平面幾何的特征，當(dāng)點(diǎn)M在過圓心且垂直于AB的直線上時(shí)，距離AB最遠(yuǎn)，據(jù)此求面積的最大值即可．
解答：解：（1）消去參數(shù)θ，得曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程：（x-1）²+y²=1．
由得：ρcosθ-ρsinθ=0，
即直線l的直角坐標(biāo)方程為：x-y=0．
（2）圓心（1，0）到直線l的距離為，
則圓上的點(diǎn)M到直線的最大距離
為（其中r為曲線C的半徑），．設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），
則過M且與直線l垂直的直線l'方程為：x+y-1=0，
則聯(lián)立方程，
解得，或，
經(jīng)檢驗(yàn)舍去．
故當(dāng)點(diǎn)M為時(shí)，△ABM面積的最大值為（S_△ABM）_max=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，以及利用平面幾何知識(shí)解決最值問題．利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進(jìn)行代換即得．