Question

已知函數f（x）=x³-3ax²-3（2a+1）x-3，x∈R，a是常數．
（1）若，求函數y=f（x）在區(qū)間（-3，3）上零點的個數；
（2）若?x＞-1，f′（x）＞-3恒成立，試證明a＜0．

Answer 1

解：（1），，f′（x）=3x²-3x-6…（1分），
解f′（x）=0得x₁=-1，x₂=2…（2分），

x	[-3，-1）	-1	（-1，2）	2	（2，3]
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

…（4分）
，，f（2）=-13，…（5分），
因為f（-3）f（-1）＜0、f（-1）f（2）＜0、f（2）f（3）＞0，根據零點定理及函數的單調性，f（x）在區(qū)間（-3，-1）、（-1，2）上各有且僅有一個零點，在區(qū)間（2，3）上沒有零點，…（6分），即f（x）在區(qū)間（-3，3）上共有兩個零點…（7分）．
（2）f′（x）=3x²-6ax-3（2a+1）…（8分），由f′（x）＞-3即3x²-6ax-3（2a+1）＞-3得?x＞-1，x²-2ax-2a＞0恒成立…（10分），因為x＞-1，x+1＞0，所以…（11分），
設，則，等號當且僅當x=0時成立…（13分），
所以a＜0…（14分）．
分析：（1）先求導函數f′（x）=3x²-3x-6，求得函數的極值，根據零點定理及函數的單調性，從而可得f（x）在區(qū)間（-3，-1）、（-1，2）上各有且僅有一個零點，在區(qū)間（2，3）上沒有零點；
（2）問題等價于?x＞-1，x²-2ax-2a＞0恒成立，再用分離參數得，利用基本不等式可求的最值．
點評：本題主要考查利用導數求函數的極值及函數零點的求解，恒成立問題利用分離參數法求解．