Question

已知函數(shù)f（x）=sin²ωx+

3

sinωsin（ωx+

π

2

）+2cos²ωx，x∈R（ω＞0），在y軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

π

6

．若將函數(shù)f（x）的圖象向右平移

π

6

個(gè)單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象．
（1）求函數(shù)g（x）的最大值及單調(diào)遞減區(qū)間．
（2）（理）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，a=

3

，b+c=3，且f（A）=2，求△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：解三角形

分析：（1）利用輔助角公式和倍角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)f（x）=sin（2ωx+

π

6

）+

3

2

，再根據(jù)題設(shè)條件求出ω=1，然后根據(jù)條件進(jìn)行變換即可；
（2）（理）根據(jù)f（A）=2確定A=

π

3

，利用余弦定理建立方程求解b、c，代入面積公式計(jì)算即可．

解答： 解：（1）f（x）=sin²ωx+

3

sinωsin（ωx+

π

2

）+2cos²ωx
=

3

2

sin2ωx+

1

2

cos2ωx+

3

2

=sin（2ωx+

π

6

）+

3

2

．
令2ωx+

π

6

=

π

2

，
將x=

π

6

代入可得：ω=1．
∴f（x）=sin（2x+

π

6

）+

3

2

．
經(jīng)過(guò)題設(shè)的變化得到的函數(shù)g（x）=sin（x-

π

6

）+

3

2

．
當(dāng)x=2kπ+

2

3

π，k∈Z時(shí)，函數(shù)取得最大值

5

2

．
令2kπ+

π

2

≤x-

π

6

≤2kπ+

3

2

π，
即x∈[2kπ+

2

3

π，2kπ+

5

3

π]，k∈Z為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．
（2）（理）f（x）=sin（2x+

π

6

）+

3

2

，
∵f（A）=2，
∴sin(2A+

π

6

)=

1

2

，
而

π

6

＜2A+

π

6

＜

13

6

π，
∴2A+

π

6

=

5

6

π，∴A=

π

3

，
由余弦定理知cosA=

b2+c2-a2

2bc

，
∴b²+c²-bc=3，又b+c=3，
聯(lián)立解得

b=2 c=1

或

b=1 c=2

，
∴S△ABC=

1

2

bcsinA=

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查倍角公式、輔助角公式等三角恒等變換公式的應(yīng)用，三角函數(shù)單調(diào)性，解三角形等基礎(chǔ)知識(shí)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．