Question

12．直三棱柱A₁B₁C₁-ABC，∠BCA=90°，點D₁，F(xiàn)₁分別是A₁B₁，A₁C₁的中點，BC=CA=CC₁，則BD₁與AF₁所成角的余弦值是（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{30}}}{10}$
• C． $\frac{{\sqrt{30}}}{15}$
• D． $\frac{{\sqrt{15}}}{10}$

Answer 1

分析 以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出BD₁與AF₁所成角的余弦值．

解答 解：∵直三棱柱A₁B₁C₁-ABC，∠BCA=90°，
∴以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標系，
∵點D₁，F(xiàn)₁分別是A₁B₁，A₁C₁的中點，BC=CA=CC₁，
∴設(shè)BC=CA=CC₁=2，
則B（0，20），D₁（1，1，2），A（2，0，0），F(xiàn)₁（1，0，2），
$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=（1，-1，2），$\overrightarrow{A{F}_{1}}$=（-1，0，2），
設(shè)BD₁與AF₁所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{B{D}_{1}}•\overrightarrow{A{F}_{1}}|}{|\overrightarrow{B{D}_{1}}|•|\overrightarrow{A{F}_{1}}|}$=$\frac{3}{\sqrt{5}•\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
∴BD₁與AF₁所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
故選：B．

點評 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．