Question

（2011•遂寧二模）己知雙曲線C的方程為

x2

4

-

y2

5

=1，若直線x-my-3=0截雙曲線的一支所得弦長為5．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）設過雙曲線C上的一點P的直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點P₁、P₂，且點P分有向線段

P1P2

所成的比為λ（λ＞0），當λ=

2

3

時，求|

op1

|•|

OP2

|（O為坐標原點）的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由曲線C的方程為

x2

4

-

y2

5

=1，得a=2，b=

5

，c=2，e=

3

2

，左、右焦點分別為：F₁（-3，0），F(xiàn)₂（3，0），故直線x-my-3=0恒過雙曲線的右焦點F₂（3，0），于是直線與雙曲線的右支相交，由雙曲線的第二定義得：

|AF2|

|x1- a2 c |

=e，由此能求出m．
（Ⅱ）雙曲線C的兩條漸近線方程分別為l1：y=

5

2

x，l2：y=-

5

2

x，設P（x，y），P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），且點P分有向線段

P1P2

所成的比為λ（λ＞0），則

y1= 5 2 x1 y2= 5 2 x2

，x=

x1+λx2

1+λ

，y=

y1+λy2

1+λ

=

5

2

•

x1-λx2

1+λ

，由此能求出|

op1

|•|

OP2

|（O為坐標原點）的值．

解答：解：（Ⅰ）由曲線C的方程為

x2

4

-

y2

5

=1，
得a=2，b=

5

，∴c=2，e=

3

2

，
左、右焦點分別為：F₁（-3，0），F(xiàn)₂（3，0），
∴直線x-my-3=0恒過雙曲線的右焦點F₂（3，0），
于是直線與雙曲線的右支相交，
設兩個交點坐標分別為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由雙曲線的第二定義得：

|AF2|

|x1- a2 c |

=e，
即|AF₂|=

3

2

(x1-

4

3

)=

3

2

x1-2．
同理，|BF2|=

3

2

x2-2，
∴|AB|=|AF₂|+|BF₂|=

3

2

(x1+x2)-4，
依題意，得

3

2

(x1+x2)-4=5，
∴x₁+x₂=6，
由直線過右焦點F₂（3，0），知x₁=x₂=3，
此時直線垂直于x軸，
∴m=0．
（Ⅱ）雙曲線C的兩條漸近線方程分別為l1：y=

5

2

x，l2：y=-

5

2

x，
設P（x，y），P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），且點P分有向線段

P1P2

所成的比為λ（λ＞0），
則

y1= 5 2 x1 y2= 5 2 x2

，x=

x1+λx2

1+λ

，y=

y1+λy2

1+λ

=

5

2

•

x1-λx2

1+λ

，
∵點P（x，y）在雙曲線

x2

4

-

y2

5

=1上，
∴

(x1+λx2)2

4(1+λ)2

-

5

4

•

(x1-λx2)2

5(1+λ)2

=1，
化簡，得x1x2=

(1+λ)2

λ

，
∵|

OP1

|=

x12+ 5 4 x12

=

3

2

|x1|，
同理，得|

OP2

|=

3

2

|x2|，
∴|

OP1

|•|

OP2

| =

9

4

•

(1+λ)2

λ

，（λ＞0），
當λ=

2

3

時，|

OP1

|•|

OP2

| =

9

4

•

(1+ 2 3 )2

2 3

=

75

8

．

點評：本題考查雙曲線與直線的位置關系的綜合應用，考查化歸與轉化、分類與整合的數(shù)學思想，培養(yǎng)學生的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識．