Question

如圖，直線l：y=(x-2)和雙曲線C：=1(a＞0,b＞0)交于A、B兩點，|AB|=，又l關于直線l₁:y=x對稱的直線l₂與x軸平行.

(1)求雙曲線C的離心率；

(2)求雙曲線C的方程.

(文)已知公差不為零的等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n,S_n及通項a_n滿足關系式：4S_n=a_n²+αa_n+β(α、β為常數(shù)，n∈N₊)，且a₁=-1.

(1)求常數(shù)α、β的值；

(2)求數(shù)列{a_n}的通項公式.

Answer 1

答案：(理)解:(1)設雙曲線一、三象限漸近線l₁:=0的傾斜角為α,

∵l和l₂關于直線l₁對稱，記它們交點為P,而l₂與x軸平行，記l₂與y軸交點為Q，

依題意有∠QPO=∠POM=∠OPM=α(銳角).

又AB：y=(x-2),故tan2α=,則，求得tanα=,tanα=-2(舍去).

∴.因此雙曲線C的離心率e=.

(2)∵=，故設所求雙曲線方程為=1,將y=(x-2)代入x²-4y²=4k²消去y，得=0.

設A(x₁，y₁),B(x₂,y₂)，|AB|=|x₁-x₂|=·

=.

化簡得到,求得k²=1.故所求雙曲線方程為-y²=1.

(文)解：(1)設等差數(shù)列{a_n}的公差d≠0,而a₁=-1,

則a_n=-1+(n-1)d,S_n=na₁+.

代入已知4S_n=a_n²+αa_n+β中整理得到2dn²-(4+2d)n=［nd-(d+1)］²+α［nd-(d+1)］+β.

由待定系數(shù)法,可知由①式及d≠0求得d=2.

將d=2代入②式求得α=2，再由③式求得β=-3.因此所求α=2,β=-3.

(2)由(1)求得d=2,又a₁=-1,故a_n=a₁+(n-1)d=2n-3.