【題目】已知函數(12分)
(1)若函數在上為增函數,求實數的取值范圍;
(2)當時,求在上的最大值和最小值.
【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ);(Ⅲ).
【解析】試題分析:(1)求出函數的導函數f′(x),令f′(x)0恒成立,通過變量分離求最值即可;(2)當a=1時,可求得f(x)、f′(x),由f′(x)=0,得x=1,求出函數的極值、端點處函數值,然后進行比較即可.
試題解析:
(1)由已知得,依題意得對任意恒成立
即對任意恒成立, 而
所以的取值范圍為
(2)當時,, 令,得,
當時,可得下表,若時,
- | 0 | + | |||
故是函數在區(qū)間上的唯一的極小值,也是最小值,
即,而,
由于,
則
【思路點睛】導數問題經常會遇見恒成立的問題:
①根據參變分離,轉化為不含參數的函數的最值問題;
②若就可討論參數不同取值下的函數的單調性和極值以及最值,最終轉化為,若恒成立,轉化為;
③若恒成立,可轉化為.
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【題目】設函數,已知曲線在點處的切線與直線平行
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)是否存在自然數,使得方程在內存在唯一的根?如果存在,求出;如果不存在,請說明理由。
(Ⅲ)設函數(表示中的較小者),求的最大值。
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【題目】心理學家發(fā)現視覺和空間能力與性別有關,某高中數學興趣小組為了驗證這個結論,從興趣小組中抽取50名同學(男30女20),給所有同學幾何題和代數題各一題,讓各位同學自由選擇一道題進行解答.選題情況如下表:(單位:人)
幾何題 | 代數題 | 合計 | ||
男同學 | 22 | 8 | 30 | |
女同學 | 8 | 12 | 20 | |
合計 | 30 | 20 | 50 |
(1)能否據此判斷有的把握認為視覺和空間能力與性別有關?
(2)以上列聯(lián)表中女生選做幾何題的頻率作為概率,從該校1500名女生中隨機選6名女生,記6名女生選做幾何題的人數為,求的數學期望和方差.
附表:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
參考公式:,其中.
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【題目】如圖,幾何體EF﹣ABCD中,CDEF為邊長為2的正方形,ABCD為直角梯形,AB∥CD,AD⊥DC,AD=2,AB=4,∠ADF=90°.
(1)求證:AC⊥FB
(2)求二面角E﹣FB﹣C的大。
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【題目】古希臘著名的畢達哥拉斯學派把…這樣的數稱為“三角形數”,而把…
這樣的數稱為“正方形數”.如圖,可以發(fā)現任何一個大于的“正方形數”都可以看作兩個相鄰
“三角形數”之和,下列四個等式:①;②;③;
④ 中符合這一規(guī)律的等式是_____________.(填寫所有正確結論的編號)
……
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【題目】端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習俗,設一盤中裝有10個粽子,其中豆沙粽2個,肉粽3個,白粽5個,這三種粽子的外觀完全相同,從中任意選取3個. (Ⅰ)求三種粽子各取到1個的概率;
(Ⅱ)設X表示取到的豆沙粽個數,求X的分布列與數學期望.
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【題目】已知().
(1)當時,求關于的不等式的解集;
(2)若f(x)是偶函數,求k的值;
(3)在(2)條件下,設,若函數與的圖象有公共點,求實數b的取值范圍.
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【題目】已知某種藥物在血液中以每小時的比例衰減,現給某病人靜脈注射了該藥物2500mg,設經過x個小時后,藥物在病人血液中的量為ymg.
與x的關系式為______;
當該藥物在病人血液中的量保持在1500mg以上,才有療效;而低于500mg,病人就有危險,要使病人沒有危險,再次注射該藥物的時間不能超過______小時精確到.
參考數據:,,,
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【題目】已知在圓x2+y2﹣4x+2y=0內,過點E(1,0)的最長弦和最短弦分別是AC和BD,則四邊形ABCD的面積為( )
A.
B.6
C.
D.2
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