Question

已知中，頂點(diǎn)，邊上的中線所在直線的方程是，邊上高所在直線的方程是．

（1）求點(diǎn)、的坐標(biāo)； （2）求的外接圓的方程．

 

Answer 1

（1） （2）或

【解析】

試題分析：（1）求,點(diǎn)就設(shè),點(diǎn)的坐標(biāo),同時(shí)可以表示出的坐標(biāo),根據(jù)在上,且中點(diǎn)在上.兩式聯(lián)立可求出;根據(jù)在上,且得到,兩式聯(lián)立可求出.

（2）所求的圓經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn),所以設(shè)出圓的一般方程,將,,代入解方程組即可得到所求圓的方程.或者根據(jù)三角形的外接圓的圓心是各邊垂直平分線的交點(diǎn)，所以可以根據(jù)（1）中的,和已知的求兩個(gè)邊的垂直平分線,取其交點(diǎn)做圓心,該點(diǎn)到各個(gè)頂點(diǎn)的距離為半徑,求出圓的方程.

試題解析：（1）由題意可設(shè),則的中點(diǎn).

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111721170544261293/SYS201411172117096615928236_DA/SYS201411172117096615928236_DA.015.png">的中點(diǎn)必在直線上,代入有①

又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111721170544261293/SYS201411172117096615928236_DA/SYS201411172117096615928236_DA.020.png">在直線上，所以代入有②

由①②聯(lián)立解得.則,

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111721170544261293/SYS201411172117096615928236_DA/SYS201411172117096615928236_DA.024.png">在直線上，代入有③

又因?yàn)橹本�,所以有,則有④

根據(jù)③④有.

（2）因?yàn)槿�角形外接圓的圓心是各邊垂直平分線的交點(diǎn)，

所以找到三角形兩邊的垂直平分線求得的交點(diǎn)就是外接圓的圓心，該點(diǎn)到各頂點(diǎn)的距離就是半徑.

根據(jù)兩點(diǎn),可得斜率為,所以中垂線斜率為,中點(diǎn)為,則中垂線為⑤

同理可得直線的中垂線為⑥,

由⑤⑥可得圓心，半徑為，所以外接圓為

法二：（2）設(shè)外接圓的方程為，其中。

因?yàn)槿�角形的個(gè)頂點(diǎn)都在圓上，所以根據(jù)（1），將三點(diǎn)坐標(biāo)代入有：

解得

∴外接圓的方程為．

考點(diǎn)：三角形中，中線，垂線與各邊，各個(gè)頂點(diǎn)的關(guān)系；外接圓的求法.