Question

【題目】已知離心率為的橢圓經(jīng)過點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）若不過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1），（2）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由橢圓的離心率為，可得,可設(shè)橢圓方程為，再代入點(diǎn)的坐標(biāo)得代入設(shè)出的橢圓的方程，即可得橢圓的方程

（Ⅱ）先設(shè)點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，將直線方程與橢圓的方程聯(lián)立：消去一個(gè)元，得到一個(gè)一元二次方程.再求解判別式：寫出根與系數(shù)的關(guān)系.計(jì)算點(diǎn)到直線的距離，得到用表示 的面積，利用基本不等式求出面積的最大值.

試題解析：（Ⅰ）因?yàn)?/span>,所以設(shè)，，則，橢圓的方程為.

代入點(diǎn)的坐標(biāo)得，，所以橢圓的方程為.

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，

由得，即，

，

，.

，

點(diǎn)到直線的距離，

的面積

，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.

所以當(dāng)時(shí)，面積的最大值為.