Question

如圖，ABCD為正方形，P是對(duì)角線(xiàn)DB上一點(diǎn)，PECF為矩形，
求證：①PA=EF；②PA⊥EF．

Answer 1

分析：①利用AD⊥DC建立坐標(biāo)系，根據(jù)題意表示出正方形ABCD頂點(diǎn)的坐標(biāo)，再設(shè)DP=r并利用PECF為矩形，求出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)，由向量的坐標(biāo)表示求出

PA

，

EF

的坐標(biāo)，根據(jù)向量的模求法證明PA=EF；②利用①求出

PA

，

EF

的坐標(biāo)，利用數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算求出

PA

•

EF

=0，即證出PA⊥EF．

解答：解：以D為原點(diǎn)

DC

為x軸正方向建立直角坐標(biāo)系，
則A（0，1），C：（1，0）B：（1，1），
①設(shè)DP=r，則P(

2

2

r，

2

2

r)，∴

PA

=(-

2

2

r，1-

2

2

r)
∵E點(diǎn)為(1，

2

2

r)，F(xiàn)：(

2

2

r，0)
∴

EF

=(

2

2

r-1，-

2

2

r)
∴|

PA

|=

(- 2 2 r)2+(1- 2 2 r)2

，|

EF

|=

(1- 2 2 r)2+(- 2 2 r)2

∴PA=EF，
②由①得，

PA

•

EF

=(-

2

2

r，1-

2

2

r)• (

2

2

r-1，-

2

2

r)
=-

2

2

r(

2

2

r-1)=0，
∴

PA

⊥

EF

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用坐標(biāo)法證明幾何中的問(wèn)題，即利用圖形的特點(diǎn)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出對(duì)應(yīng)向量的坐標(biāo)，利用向量的公式以及運(yùn)算進(jìn)行證明或求值．