若定義在R上的奇函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，且當(dāng)0＜x≤1時(shí)，f（x）=log3x，則方程f（x）+4=f（0）在區(qū)間（0，10）內(nèi)的所有實(shí)根之和為（ ）
A．28
B．30
C．32
D．34
【答案】分析：可根據(jù)定義在R上的奇函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱⇒f（x+4）=f（x），再利用0＜x≤1時(shí)，f（x）=log3x，數(shù)形結(jié)合，可求得方程f（x）+4=f（0）在區(qū)間（0，10）內(nèi)的所有實(shí)根之和．
解答：解：∵函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，
∴f（2-x）=f（x），又y=f（x）為奇函數(shù)，
∴f（x+2）=f（-x）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），即f（x）的周期為4，
又定義在R上的奇函數(shù)，故f（0）=0，
∵f（x）+4=f（0），
∴f（x）=-4+f（0）=-4，
∵0＜x≤1時(shí)，f（x）=log3x≤0，
∴f（x）=-4在（0，1）內(nèi)有一實(shí)根x1，又函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，
∴f（x）=-4在（1，2）有一個(gè)實(shí)根x2，且x1+x2=2；
∵f（x）的周期為4，
∴f（x）在（4，5），（5，6）上各有一個(gè)實(shí)根x3、x4，x3+x4=10；在（8，9），（9，10）各有一個(gè)實(shí)根x5，x6，x5+x6=18；
∴原方程在區(qū)間（0，10）內(nèi)的所有實(shí)根之和為30．
故選B．
點(diǎn)評：本題考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷及奇偶函數(shù)圖象的對稱性，關(guān)鍵在于判斷f（x）的周期為4，再結(jié)合“0＜x≤1時(shí)，f（x）=log3x”與奇函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，數(shù)形結(jié)合予以解決，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

規(guī)定maxf（x），g（x）=
f(x)，f(x)≥g(x)
g(x)，f(x)＜g(x)
，若定義在R上的奇函數(shù)F（x）滿足：當(dāng)x＞0時(shí)，F(xiàn)（x）=max1-log2x，1+log2x．
（1）求F（x）的解析式，并寫出F（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若方程F（x）=m有唯一實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的值；
（3）求t＞0時(shí)，函數(shù)y=F（x）在x∈[t，2]上的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

記函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，若存在x0∈D，使f（x0）=x0成立，則稱以（x0，x0）為坐標(biāo)的點(diǎn)為函數(shù)f（x）圖象上的不動(dòng)點(diǎn)．
（1）若函數(shù)f(x)=
3x+a
x+b
圖象上有兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對稱的不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a，b應(yīng)滿足的條件；
（2）設(shè)點(diǎn)P（x，y）到直線y=x的距離d=
|x-y|
2
．在（1）的條件下，若a=8，記函數(shù)f（x）圖象上的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)分別為A1，A2，P為函數(shù)f（x）圖象上的另一點(diǎn)，其縱坐標(biāo)yP＞3，求點(diǎn)P到直線A1A2距離的最小值及取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）下述命題“若定義在R上的奇函數(shù)f（x）圖象上存在有限個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，則不動(dòng)點(diǎn)有奇數(shù)個(gè)”是否正確？若正確，請給予證明；若不正確，請舉一反例．若地方不夠，可答在試卷的反面．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，若存在x0∈D，使f（x0）=x0成立，則稱以（x0，x0）為坐標(biāo)的點(diǎn)為函數(shù)f（x）圖象上的不動(dòng)點(diǎn)．
（1）若函數(shù)f（x）=
3x+ax+b
圖象上有兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對稱的不動(dòng)點(diǎn)，求a，b應(yīng)滿足的條件；
（2）在（1）的條件下，若a=8，記函數(shù)f（x）圖象上的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)M為函數(shù)圖象上的另一點(diǎn)，且其縱坐標(biāo)yM＞3，求點(diǎn)M到直線AB距離的最小值及取得最小值時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）下述命題“若定義在R上的奇函數(shù)f（x）圖象上存在有限個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，則不動(dòng)點(diǎn)的有奇數(shù)個(gè)”是否正確？若正確，給出證明，并舉一例；若不正確，請舉一反例說明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若定義在R上的奇函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，且當(dāng)0＜x≤1時(shí)，f（x）=log3x，則方程f（x）+4=f（0）在區(qū)間（0，10）內(nèi)的所有實(shí)根之和為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列幾個(gè)命題：①直線y=x與函數(shù)y=sinx的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)；②函數(shù)y=tanx在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)；③函數(shù)y=2x-x2與y=(
12
)x-x2的圖象關(guān)于y軸對稱；④若函數(shù)y=lg（x2+2x+m）的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-∞，1]；⑤若定義在R上的奇函數(shù)f（x）對任意x都有f（x）=f（2-x），則函數(shù)f（x）為周期函數(shù)．其中正確的命題為
 
（請將你認(rèn)為正確的所有命題的序號都填上）．

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