【題目】已知橢圓: ()過點(diǎn),且離心率為,過點(diǎn)的直線與橢圓交于, 兩點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓的的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)已知為坐標(biāo)原點(diǎn),且,求面積的最大值以及此時(shí)直線的方程.
【答案】(1)(2)面積的最大值為3,此時(shí)直線的方程為.
【解析】試題分析:(1)由離心率為可得,由點(diǎn)在橢圓上可得,聯(lián)立方程組解得, , ,(2)因?yàn)?/span>,所以為的中點(diǎn),因此面積,聯(lián)立直線的方程與橢圓方程,結(jié)合韋達(dá)定理及弦長公式可得 .最后設(shè)整體換元轉(zhuǎn)化為,利用函數(shù)單調(diào)性求最值.
試題解析:(Ⅰ)依題意, , , ,
解得, , ,
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(Ⅱ)因?yàn)?/span>,所以為的中點(diǎn),所以.
由題意知,直線的斜率不為零,可設(shè)直線的方程為,
由得,所以, .
又因直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),故,即, .
則 .
令,則, ,令,則函數(shù)在上單調(diào)遞增,故當(dāng)時(shí), 在上單調(diào)遞增,因此有,所以,故面積的最大值為3,此時(shí)直線的方程為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|cosx|sinx,給出下列四個說法:
①f(x)為奇函數(shù); ②f(x)的一條對稱軸為x= ;
③f(x)的最小正周期為π; ④f(x)在區(qū)間[﹣ , ]上單調(diào)遞增;
⑤f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(﹣ ,0)成中心對稱.
其中正確說法的序號是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ax+ (a>1)
(1)證明:函數(shù)f(x)在(﹣1,+∞)上為增函數(shù);
(2)用反證法證明f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,左、右焦點(diǎn)分別為圓, 是上一點(diǎn), ,且.
(1)求橢圓的方程;
(2)當(dāng)過點(diǎn)的動直線與橢圓相交于不同兩點(diǎn)時(shí),線段上取點(diǎn),且滿足,證明點(diǎn)總在某定直線上,并求出該定直線.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若在區(qū)間上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若存在唯一整數(shù),使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)=3sin(2x﹣ )的圖象為C,下列結(jié)論中正確的是( )
A.圖象C關(guān)于直線x= 對稱
B.圖象C關(guān)于點(diǎn)(﹣ ,0)對稱
C.函數(shù)f(x)在區(qū)間(﹣ , )內(nèi)是增函數(shù)
D.由y=3sin2x的圖象向右平移 個單位長度可以得到圖象C
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)面BCC1B1是菱形,B1C⊥A1B
(1)證明:平面AB1C⊥平面A1BC1;
(2)設(shè)D是A1C1上的點(diǎn),且A1B∥平面B1CD,求A1D:DC1的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足.
(1)求角B的大小;
(2)若點(diǎn)M為BC中點(diǎn),且AM=AC=2,求a的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,三棱柱中,側(cè)面底面,,,且,點(diǎn),,分別為,,的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:平面.
(Ⅱ)求證:平面.
(Ⅲ)寫出四棱錐的體積.(只寫出結(jié)論,不需要說明理由)
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