Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為矩形，且PA=AD=1，AB=2，∠PAB=120°，∠PBC=90°．
（1）求證：平面PAD與平面PAB垂直；
（2）求直線PC與直線AB所成角的余弦值．（請用空間向量知識求解）

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）利用線面垂直的判定定理可得BC⊥平面PAB．由于AD∥BC，可得AD⊥平面PAB，即可證明平面PAD與平面PAB垂直．
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角公式即可得出．

解答： 證明：（1）∵∠PBC=90°，∴BC⊥PB．
∵ABCD為矩形，∴BC⊥AB，
又AB∩PB=B，
∴BC⊥平面PAB．
∵AD∥BC，
∴AD⊥平面PAB，
∴平面PAD與平面PAB垂直．
（2）解：建立空間直角坐標(biāo)系．
則A（0，0，0），B（0，2，0），C（0，2，1），P(

3

2

，-

1

2

，0)．
∴

PC

=(-

3

2

，

5

2

，1)，

AB

=（0，2，0）．
∴cos＜

PC

，

AB

＞=

PA • AB

| PA || AB |

=

5

4 2

=

5 2

8

．

點(diǎn)評：本題考查了線面面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理、向量的夾角公式，屬于基礎(chǔ)題．