Question

已知數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足a₁=1且．
（I）證明：數(shù)列{}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求使不等式對(duì)任意正整數(shù)n都成立的最大實(shí)數(shù)k．

Answer 1

（I）證明：∵數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足a₁=1，
且，
∴（1+2a_n）（1-2a_n+1）=1，
∴a_n-a_n+1=2a_n•a_n+1，
∴，
∴數(shù)列是以=1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，
∴=1+2（n-1）=2n-1，
∴．
（Ⅱ）解：由（I）得，
，
，
則k，
記f（n）=，
則，
∴數(shù)列{f（n）}是遞增數(shù)列，
要使原不等式對(duì)任意正整數(shù)n都成立，只要k≤f（1），
即，
∴滿足條件的最大實(shí)數(shù)k為．
分析：（I）由題設(shè)知（1+2a_n）（1-2a_n+1）=1，故a_n-a_n+1=2a_n•a_n+1，，由此能夠證明數(shù)列是以=1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，并能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由，知，故，則k，由此能求出滿足條件的最大實(shí)數(shù)k的值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與不等式的綜合，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．