Question

17．設函數(shù)$f（x）=2{（{log_2}x）^2}-2a{log_2}x+b$，已知當$x=\frac{1}{2}$時，f（x）有最小值-8．
（1）求a與b的值；
（2）求不等式f（x）＞0的解集．

Answer 1

分析 （1）令t=log₂x，則y=2t²-2at+b，結合二次函數(shù)的圖象和性質，可得a與b的值；
（2）由2t²+4t-6＞0得：t＜-3，或t＞1，結合對數(shù)函數(shù)的圖象和性質，可得原不等式f（x）＞0的解集．

解答 解：（1）令t=log₂x，則y=2t²-2at+b的圖象是開口朝上，且以直線t=$\frac{a}{2}$為對稱軸的拋物線，
故當t=$\frac{a}{2}$時，函數(shù)取最小值$-\frac{{a}^{2}}{2}+b$，
∵當$x=\frac{1}{2}$時，t=log₂x=-1，
故$\frac{a}{2}$=-1，即a=-2，
$-\frac{{a}^{2}}{2}+b$=-8，即b=-6；
（2）由（1）得：t=log₂x，則y=2t²+4t-6，
由2t²+4t-6＞0得：t＜-3，或t＞1，即0＜x＜$\frac{1}{8}$，或x＞2；
故不等式f（x）＞0的解集為：（0，$\frac{1}{8}$）∪（2，+∞）

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質，對數(shù)函數(shù)的圖象和性質，換元法的應用，難度中檔．