Question

已知拋物線C：y²＝2px(p>0)，M點(diǎn)的坐標(biāo)為(12,8)，N點(diǎn)在拋物線C上，且滿足＝，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

(1)求拋物線C的方程；
(2)以M點(diǎn)為起點(diǎn)的任意兩條射線l₁，l₂的斜率乘積為1，并且l₁與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，l₂與拋物線C交于D，E兩點(diǎn)，線段AB，DE的中點(diǎn)分別為G，H兩點(diǎn)．求證：直線GH過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

（1）y²＝4x（2）(10,0)

∵＝，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(12,8)，可得點(diǎn)N的坐標(biāo)為(9,6)，∴6²＝18p，∴p＝2，所以拋物線C的方程為y²＝4x.
(2)證明:由條件可知，直線l₁，l₂的斜率存在且不為0，設(shè)l₁：y＝k(x－12)＋8，則l₂的方程為y＝(x－12)＋8，由得ky²－4y＋32－48k＝0，設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，則y₁＋y₂＝，又y₁＋y₂＝k(x₁＋x₂－24)＋16，∴x₁＋x₂＝－＋24，∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為，用代替k，得到點(diǎn)H坐標(biāo)為(2k²－8k＋12,2k)，∴k_GH＝
∴l_GH：y－2k＝ [x－(2k²－8k＋12)]．
令y＝0，則x＝10，所以直線GH過定點(diǎn)(10,0)