Question

某企業(yè)準備投產一批特殊型號的產品，已知該種產品的成本C與產量q的函數關系式為C=

q3

3

-3q2+20q+10(q＞0)．該種產品的市場前景無法確定，有三種可能出現(xiàn)的情況，各種情形發(fā)生的概率及產品價格p與產量q的函數關系式如下表所示：

市場情形	概率	價格p與產量q的函數關系式
好	0.4	p=164-3q
中	0.4	p=101-3q
差	0.2	p=70-3q

設L₁，L₂，L₃分別表示市場情形好、中差時的利潤，隨機變量ξ_q，表示當產量為q，而市場前景無法確定的利潤．
（Ⅰ）分別求利潤L₁，L₂，L₃與產量q的函數關系式；
（Ⅱ）當產量q確定時，求期望Eξ_q，試問產量q取何值時，Eξ_q取得最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據所給的表格中的數據和題意可以寫出利潤L₁，L₂，L₃與產量q的函數關系式，整理合并同類項得到關于q的三次函數，寫出自變量q的取值范圍．
（Ⅱ）寫出期望的表示式，根據多項式的四則運算，寫出最簡形式，利用函數的導數求函數的最值，對函數求導，令導數等于0，解出q的值，確定這是函數的最大值．

解答：解：（Ⅰ）根據所給的表格中的數據和題意寫出
L1=(164-3q)•q-(

q3

3

-3q2+20q+10)
=-

q3

3

+144q-10(q＞0)．
同理可得L2=-

q3

3

+81q-10(q＞0)．
L3=-

q3

3

+50q-10(q＞0)．
（Ⅱ）由期望定義可知Eξ_q=0.4L₁+0.4L₂+0.2L₃
=0.4*(-

q3

3

+144q-10)+0.4*(-

q3

3

+81q-10)+0.28*(-

q3

3

+50q-10)
=-

q3

3

+100q-10．
可知Eξ_q是產量q的函數，設f(q)=Eξq=-

q3

3

+100q-10(q＞0)，
得f′（q）=-q²+100．令f′（q）=0解得q=10，q=-10（舍去）．
由題意及問題的實際意義可知，當q=10時，f（q）取得最大值，即Eξ_q最大時的產量為10．

點評：本題主要考查離散型隨機變量的數學期望，利用導數求多項式函數最值等基礎知識，考查運用概率和函數知識建模解決實際問題的能力，是一個綜合題目．