Question

12．如圖，橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，過橢圓C上異于頂點的任一點P作圓O：x²+y²=b²的兩條切線，切點分別為A，B，若直線AB與x，y軸分別交于M，N兩點，則$\frac{^{2}}{|OM{|}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{|ON{|}^{2}}$的值為（　　）

• A． 1
• B． $\frac{5}{3}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 由橢圓的離心率結合隱含條件求得$\frac{^{2}}{{a}^{2}}=\frac{4}{3}$，設A（x_A，y_A ），B （x_B，y_B ），則可得切線PA、PB的方程，即可得到A，B 是x_P•x+y_P•y=b² 和圓x²+y²=b² 的交點，求出點M（$\frac{^{2}}{{x}_{P}}$，0），N（0，$\frac{^{2}}{{y}_{P}}$），從而得到$\frac{{a}^{2}}{|ON{|}^{2}}+\frac{^{2}}{|OM{|}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}{{y}_{P}}^{2}}{^{4}}+\frac{{a}^{2}{{x}_{P}}^{2}}{^{4}}$=（$\frac{{{x}_{P}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{P}}^{2}}{^{2}}$）•$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，答案可求．

解答 解：$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{4}$，得$\frac{^{2}}{{a}^{2}}=\frac{4}{3}$．
設A（x_A，y_A ），B （x_B，y_B ），則切線PA、PB的方程分別為 x_A•x+y_A•y=b²，x_B•x+y_B•y=b²．
由于點P 是切線PA、PB的交點，
∴點P的坐標滿足切線PA的方程，也滿足切線PB的方程．
∴A，B 是x_P•x+y_P•y=b² 和圓x²+y²=b² 的交點，故點M（$\frac{^{2}}{{x}_{P}}$，0），N（0，$\frac{^{2}}{{y}_{P}}$）．
又$\frac{{{x}_{P}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{P}}^{2}}{^{2}}=1$，
∴$\frac{{a}^{2}}{|ON{|}^{2}}+\frac{^{2}}{|OM{|}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}{{y}_{P}}^{2}}{^{4}}+\frac{{a}^{2}{{x}_{P}}^{2}}{^{4}}$=（$\frac{{{x}_{P}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{P}}^{2}}{^{2}}$）•$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{4}{3}$．
故選：D．

點評 本題考查橢圓的標準方程，以及簡單性質的應用，得到故A，B 是x_P•x+y_P•y=b² 和圓x²+y²=b² 的交點，是解題的難點和關鍵，屬于中檔題．