Question

已知函數(shù)f（x）=x+alnx（a∈R）．
（I）若a=-1時，求曲線y=f（x）在點x=1處的切線方程；
（Ⅱ）若a≤0，函數(shù)f（x）沒有零點，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,函數(shù)零點的判定定理,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：計算題,導數(shù)的概念及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（I）求出a=-1時，函數(shù)f（x）和導數(shù)，求得切點和切線的斜率，即可得到切線方程；
（II）討論當a=0時，當a＜0時，求出函數(shù)的單調區(qū)間和極值，判斷也是最值，且與0的關系，即可判斷零點的情況．

解答： 解：（I）若a=-1時，f（x）=x-lnx，f′（x）=1-

1

x

，
則切點為（1，1），切線的斜率為f′（1）=0，
故切線方程為y=1．
（II）當a=0時，f（x）=x在定義域（0，+∞）上沒有零點，滿足題意；
當a＜0時，函數(shù)f（x）與f′（x）=1-

a

x

在定義域上的情況如下表：

x	（0，-a）	-a	（-a，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

則f（-a）是函數(shù)f（x）的極小值，也是函數(shù)f（x）的最小值，
所以，當f（-a）=a（ln（-a）-1）＞0，即a＞-e時，函數(shù)f（x）沒有零點．
綜上所述，當-e＜a≤0時，f（x）沒有零點．

點評：本題考查導數(shù)的運用：求切線方程和求單調區(qū)間，求極值，同時考查函數(shù)的零點問題與函數(shù)最小值的關系，屬于中檔題．