【題目】如圖,在海岸線一側(cè)處有一個美麗的小島,某旅游公司為方便游客,在上設(shè)立了兩個報名點(diǎn),滿足中任意兩點(diǎn)間的距離為.公司擬按以下思路運(yùn)作:先將兩處游客分別乘車集中到之間的中轉(zhuǎn)點(diǎn)處(點(diǎn)異于兩點(diǎn)),然后乘同一艘輪游輪前往島.據(jù)統(tǒng)計,每批游客處需發(fā)車2輛, 處需發(fā)車4輛,每輛汽車每千米耗費(fèi)元,游輪每千米耗費(fèi)元.(其中是正常數(shù))設(shè)∠,每批游客從各自報名點(diǎn)到島所需運(yùn)輸成本為元.
(1) 寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式,并指出的取值范圍;
(2) 問:中轉(zhuǎn)點(diǎn)距離處多遠(yuǎn)時, 最。
【答案】(1) ;(2).
【解析】試題分析:(1)在中,求出相關(guān)的角,利用正弦定理,求出,表示出所需運(yùn)輸成本為元關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式;(2)利用函數(shù)表達(dá)式,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過導(dǎo)數(shù)的符號,判斷單調(diào)性求解函數(shù)的最值.
試題解析:(1) 由題知在△ACD中,∠CAD=,∠CDA=α,AC=10,∠ACD=-α.
由正弦定理知,
即CD=, AD=,
所以S=4aAD+8aBD+12aCD= (12CD-4AD+80)a
=a+80a =a+60a
(2) S′=20 ,
令S′=0得cos α=
當(dāng)cos α>時,S′<0; 當(dāng)cos α<時,S′>0,
所以當(dāng)cos α=時,S取得最小值,
此時sin α=,AD==5+,
所以中轉(zhuǎn)點(diǎn)C距A處km時,運(yùn)輸成本S最小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)在區(qū)間[﹣2,2]上的最大值、最小值分別是M,m,集合A={x|f(x)=x}.
(1)若A={1,2},且f(0)=2,求M和m的值;
(2)若A={1},且a≥1,記g(a)=M+m,求g(a)的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), ()
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)證明:當(dāng)時,對于任意, ,總有成立,其中是自然對數(shù)的底數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解今年某校高三畢業(yè)班準(zhǔn)備報考飛行員學(xué)生的身體素質(zhì),學(xué)校對他們的體重進(jìn)行了測量,將所得的數(shù)據(jù)整理后,畫出了頻率分布直方圖(如圖),已知圖中從左到右的前3個小組的頻率之比為1:2:3,其中第2小組的頻數(shù)為12.
(1)求該校報考飛行員的總?cè)藬?shù);
(2)以這所學(xué)校的樣本數(shù)據(jù)來估計全省的總體數(shù)據(jù),若從全省報考飛行員的學(xué)生中(人數(shù)很多)任選2人,設(shè)表示體重超過60公斤的學(xué)生人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=(2log4x﹣2)(log4x﹣ ),
(1)當(dāng)x∈[2,4]時,求該函數(shù)的值域;
(2)求f(x)在區(qū)間[2,t](t>2)上的最小值g(t).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在“出彩中國人”的一期比賽中,有6位歌手(1~6)登臺演出,由現(xiàn)場的百家大眾媒體投票選出最受歡迎的出彩之星,各家媒體獨(dú)立地在投票器上選出3位出彩候選人,其中媒體甲是1號歌手的歌迷,他必選1號,另在2號至6號中隨機(jī)的選2名;媒體乙不欣賞2號歌手,他必不選2號;媒體丙對6位歌手的演唱沒有偏愛,因此在1至6號歌手中隨機(jī)的選出3名.
(1)求媒體甲選中3號且媒體乙未選中3號歌手的概率;
(2)X表示3號歌手得到媒體甲、乙、丙的票數(shù)之和,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)f(x)=loga(1+x)+loga(3﹣x)(a>0,a≠1),且f(1)=2.
(1)求a的值及f(x)的定義域.
(2)求f(x)在區(qū)間[0, ]上的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)有且只有一個零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的值;
(2)證明:當(dāng)時, .
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【題目】加工爆米花時,爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”,在特定條件下,可食用率p與加工時間t(單位:分鐘)滿足函數(shù)關(guān)系p=at2+bt+c(a,b,c是常數(shù)),如圖記錄了三次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù),根據(jù)上述函數(shù)模型和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),可以得到最佳加工時間為( )
A.3.50分鐘
B.3.75分鐘
C.4.00分鐘
D.4.25分鐘
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