Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）和四個(gè)點(diǎn)A、B、C、D，其中A在拋物線上，B（b，0），C（0，c）（c≠0），且直線AC交X軸于D點(diǎn)
（1）若p=2，b=-8，且D為AC中點(diǎn)，求證：AC⊥BC
（2）若p=2，b=1，且AC⊥BC，判斷A，C，D三點(diǎn)的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（3）對(duì)（1）（2）兩個(gè)問(wèn)題的探究過(guò)程中，涉及到以下三個(gè)條件：
①AC⊥BC；  ②點(diǎn)A、C、D的位置關(guān)系； ③點(diǎn)B的坐標(biāo)．
對(duì)拋物線y²=2px（p＞0），請(qǐng)以其中的兩個(gè)條件做前提，一個(gè)做結(jié)論，寫(xiě)出三個(gè)真命題，（不必證明）．

Answer 1

分析：（1）結(jié)合拋物線的方程可設(shè)A(

y02

4

，y0)，B(-8，0)，由D為AC的中點(diǎn)可知D(

y02

8

，0)，C(0，-y0)
要證明AC⊥BC?

AC

•

BC

=0即可
（2）由題意可設(shè)A(

y02

4

，y0)，B(1，0)，C(0，c)由AC⊥BC，可得

AC

•

BC

=0，代入可求c=

y0

2

，從而可得C是AD的中點(diǎn)
（3）真命題共有8種情況：①②⇒③共3種情況；①③⇒②共2種情況；②③⇒①共3種情況

解答：解：（1）由題意可設(shè)A(

y02

4

，y0)，B(-8，0)，…（1分）
?D為AC中點(diǎn)，∴D(

y02

8

，0)，C(0，-y0)…（4分）
又∵

AC

•

BC

=(-

y02

4

，-2y0)•(8，-y0)=0∴AC⊥BC…（6分）
（2）由題意可設(shè)A(

y02

4

，y0)，B(1，0)，C(0，c)，…（7分）
∵AC⊥BC，∴

AC

•

BC

=0⇒(-

y02

4

，c-y0)•(-1，c)=0⇒

y02

4

+c2-cy0=0⇒(c-

y0

2

)2=0（10分）
即c=

y0

2

，C是A，D的中點(diǎn)．…（12分）
（3）真命題共有8種情況：每個(gè)（2分）
①②⇒③共3種情況：
（i）若AC⊥BC，C為A，D的中點(diǎn)，則B(

p

2

，0)
（ii）若AC⊥BC，D為A，C中點(diǎn)，則B（-4p，0）
（iii）若AC⊥BC，A是C，D中點(diǎn)，則B（-4p，0）
①③⇒②共2種情況：
（i）若AC⊥BC，B(

p

2

，0)，則C為A，D的中點(diǎn)
（ii）若AC⊥BC，B（-4p，0），則D為A，C中點(diǎn)或A是C，D中點(diǎn)
②③⇒①共3種情況：
（i）若C為A，D的中點(diǎn)，B(

p

2

，0)，則AC⊥BC
（ii）若D為A，C中點(diǎn)，B（-4p，0），則AC⊥BC
（iii）若A是C，D中點(diǎn)，B（-4p，0），則AC⊥BC

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的方程的應(yīng)用，直線垂直與向量垂直的相互轉(zhuǎn)化的應(yīng)用，利用拋物線方程y²=2px（p＞0）的特點(diǎn)設(shè)出拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)(

y2

2p

，y)是一種常用的設(shè)法