Question

17．①當α∈（0，$\frac{π}{2}$），求證：sinα＜α＜tanα；
①當α∈（0，$\frac{π}{2}$），求證：sinα+cosα＞1．

Answer 1

分析 ①由題意作出三角函數(shù)線，通過三角形的面積以及扇形面積的大小比較可得．
②作出三角函數(shù)線，由三角形兩邊之和大于第三邊可得結論．

解答 解：①在直角坐標系中結合單位圓作出銳角α的正弦線和正切線，
由圖可知sinα=MP，α=$\widehat{AP}$，tanα=AT，
∵S_△AOP=$\frac{1}{2}$×MP×1=$\frac{1}{2}$sinα，S_扇形AOP=$\frac{1}{2}$×$\widehat{AP}$×1=$\frac{1}{2}$α，S_△AOT=$\frac{1}{2}$×AT×1=$\frac{1}{2}$tanα，S_△AOP＜S_扇形AOP＜S_△AOT，
∴MP＜$\widehat{AP}$＜AT，即sinα＜α＜tanα，
故答案為：sinα＜α＜tanα．

②如圖P為α與單位圓交點，
則OP=1，OM、MP分別為α的余弦線，正弦線，
由三角形兩邊之和大于第三邊可得OM+MP＞OP，
即sinα+cosα＞1．

點評 本題考查三角函數(shù)線，考查轉化思想以及判斷能力，屬中檔題．