Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，對(duì)一切n∈N^*，點(diǎn)(n，

Sn

n

)都在函數(shù)f(x)=x+

an

2x

的圖象上．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃的值，猜想a_n的表達(dá)式，并證明；
（Ⅱ）將數(shù)列{a_n}依次按1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng)、4項(xiàng)循環(huán)地分為（a₁），（a₂，a₃），（a₄，a₅，a₆），（a₇，a₈，a₉，a₁₀）；（a₁₁），（a₁₂，a₁₃），（a₁₄，a₁₅，a₁₆），（a₁₇，a₁₈，a₁₉，a₂₀）；（a₂₁），…，分別計(jì)算各個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和，設(shè)由這些和按原來(lái)括號(hào)的前后順序構(gòu)成的數(shù)列為{b_n}，求b₅+b₁₀₀的值；（直接寫(xiě)出結(jié)果）

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)點(diǎn)(n，

Sn

n

)在函數(shù)f(x)=x+

an

2x

的圖象上，可得

Sn

n

=n+

an

2n

，所以Sn=n2+

1

2

an．令n=1，2，3，再猜想：a_n=2n．利用數(shù)學(xué)歸納法證明，關(guān)鍵注意第二步：假設(shè)n=k（k≥1）時(shí)猜想成立，即a_k=2k成立，則當(dāng)n=k+1時(shí)，利用歸納假設(shè)進(jìn)行證明；
（Ⅱ）a_n=2n（n∈N^*），b₁₀₀是第25組中第4個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和．由分組規(guī)律知，由各組第4個(gè)括號(hào)中所有第1個(gè)數(shù)組成的數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為20．同理，由各組第4個(gè)括號(hào)中所有第2個(gè)數(shù)、所有第3個(gè)數(shù)、所有第4個(gè)數(shù)分別組成的數(shù)列也都是等差數(shù)列，且公差均為20．故各組第4個(gè)括號(hào)中各數(shù)之和構(gòu)成等差數(shù)列，且公差為80．注意到第一組中第4個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和是68，由此可得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)辄c(diǎn)(n，

Sn

n

)在函數(shù)f(x)=x+

an

2x

的圖象上，所以

Sn

n

=n+

an

2n

，所以Sn=n2+

1

2

an．
令n=1，得a1=1+

1

2

a1，所以a₁=2；
令n=2，得a1+a2=4+

1

2

a2，所以a₂=4；
令n=3，得a1+a2+a3=9+

1

2

a3，所以a₃=6．
由此猜想：a_n=2n．（3分）
用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
①當(dāng)n=1時(shí)，由上面的求解知，猜想成立．
②假設(shè)n=k（k≥1）時(shí)猜想成立，即a_k=2k成立，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，注意到Sn=n2+

1

2

an（n∈N^*），
故Sk+1=(k+1)2+

1

2

ak+1，Sk=k2+

1

2

ak．
兩式相減，得ak+1=2k+1+

1

2

ak+1-

1

2

ak，所以a_k+1=4k+2-a_k．
由歸納假設(shè)得，a_k=2k，
故a_k+1=4k+2-a_k=4k+2-2k=2（k+1）．
這說(shuō)明n=k+1時(shí)，猜想也成立．
由①②知，對(duì)一切n∈N^*，a_n=2n成立． （8分）
（Ⅱ）因?yàn)閍_n=2n（n∈N^*），所以數(shù)列{a_n}依次按1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng)、4項(xiàng)循環(huán)地分為（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…．每一次循環(huán)記為一組．由于每一個(gè)循環(huán)含有4個(gè)括號(hào)，故 b₁₀₀是第25組中第4個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和．由分組規(guī)律知，由各組第4個(gè)括號(hào)中所有第1個(gè)數(shù)組成的數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為20．同理，由各組第4個(gè)括號(hào)中所有第2個(gè)數(shù)、所有第3個(gè)數(shù)、所有第4個(gè)數(shù)分別組成的數(shù)列也都是等差數(shù)列，且公差均為20．故各組第4個(gè)括號(hào)中各數(shù)之和構(gòu)成等差數(shù)列，且公差為80．注意到第一組中第4個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和是68，
所以 b₁₀₀=68+24×80=1988．又b₅=22，所以b₅+b₁₀₀=2010． （12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與解析幾何的綜合，考查數(shù)學(xué)歸納法，考查規(guī)律的探索，解題的關(guān)鍵是先猜想后證明，由特殊到一般，屬于中檔題．