Question

定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f（x），如果存在函數(shù)g（x）=Ax+B（A，B為常數(shù)）使得f（x）≥g（x）對任意的x∈R都成立，則稱
g（x）為函數(shù)f（x）的一個承托函數(shù)．以下說法
（1）函數(shù)f（x）=x²-2x不存在承托函數(shù)；
（2）函數(shù)f（x）=x³-3x不存在承托函數(shù)；
（3）函數(shù)不存在承托函數(shù)；
（4）g（x）=1為函數(shù)f（x）=x⁴-2x³+x²+1的一個承托函數(shù)；
（5）g（x）=x為函數(shù)f（x）=e^x-1的一個承托函數(shù)．
其中正確的個數(shù)為

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

B
分析：根據(jù)承托函數(shù)的定義知：只要函數(shù)f（x）有最小值，就一定有承托函數(shù)g（x），只要g（x）的最大值小于等于f（x）的最小值即可
（1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=x²-2x為二次函數(shù)可用配方法求最小值，就可判斷有無承托函數(shù)；
（2）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=x³-3x為三次函數(shù)可用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，從而可知函數(shù)有無最小值，就可判斷有無承托函數(shù)；
（3）根據(jù)函數(shù)的特點(diǎn)可采用判別式求值域，從而可知函數(shù)有無最小值，就可判斷有無承托函數(shù)；
（4）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=x⁴-2x³+x²+1為四次函數(shù)可用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，從而可知函數(shù)最小值，就可判斷g（x）=1是不是它的承托函數(shù)；
（5）因?yàn)閑^x＞0，所以函數(shù)f（x）=e^x-1＞-1，而g（x）=x≤-1不能恒成立，就可判斷g（x）=x不是它的承托函數(shù)．
解答：根據(jù)承托函數(shù)的定義知：只要函數(shù)f（x）有最小值，就一定有承托函數(shù)g（x），只要g（x）的最大值小于等于f（x）的最小值即可．
（1）錯，因?yàn)閒（x）=x²-2x=（x-1）²-1，當(dāng)x=1時，f（x）有最小值-1
所以存在承托函數(shù)，例如：g（x）=-1就是其中一個；
（2）對，因?yàn)閒（x）=x³-3x的導(dǎo)數(shù)f′（x）=3x²-3，令f′（x）=0，得：x=±1
所以，當(dāng)x∈（-∞，-1）時，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（-1，1）時，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增．
由此可知：函數(shù)無最小值，不存在承托函數(shù)；
（3）錯，因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/28677.png' />定義域?yàn)镽，用判別式法求值域如下：
把變形得：yx²-（y+2）x+y=0
當(dāng)y=0時，x=0
當(dāng)y≠0時，由△=（y+2）²-4y²≥0得：
綜上可知：，故y有最小值
所以，存在承托函數(shù)，例如：g（x）=
（4）對，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=x⁴-2x³+x²+1的導(dǎo)數(shù) f′（x）=4x³-6x²+2x=2x（2x-1）（x-1）
當(dāng)x∈（-∞，0）時，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（0，）時，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（，1）時，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增
又∵f（0）=1，f（1）=1，∴f（x）的最小值為1，所以g（x）=1是它的承托函數(shù)
（5）錯，因?yàn)閑^x＞0，所以函數(shù)f（x）=e^x-1＞-1
因?yàn)閷τ趚∈R，g（x）=x≤-1顯然不能恒成立，所以，g（x）=x不是函數(shù)f（x）=e^x-1的一個承托函數(shù)
點(diǎn)評：本題給出了一個數(shù)學(xué)新定義承托函數(shù)，所以屬于創(chuàng)新性題目，觀其實(shí)質(zhì)為求函數(shù)最值的問題，常見的方法有配方法、導(dǎo)數(shù)法、判別式法、基本不等式法等等．