Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，點（a_n，b_n）在函數(shù)f（x）=2^x的圖象上（n∈N^*）
（Ⅰ）證明：數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）若a₁=1，函數(shù)f（x）的圖象在點（a₂，b₂）處的切線在x軸上的截距為2-

1

ln2

，求數(shù)列{a_nb_n²}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用等比數(shù)列的定義證明即可；
（Ⅱ）先由（Ⅰ）求得a_n，b_n，再利用錯位相減求數(shù)列{a_nb_n²}的前n項和S_n．

解答： （Ⅰ）證明：由已知得，b_n=2an＞0，
當n≥1時，

bn+1

bn

=

2an+1

2an

=2an+1-an=2^d，
∴數(shù)列{b_n}為首項是2a1，公比為2^d的等比數(shù)列；
（Ⅱ）解：f′（x）=2^xln2
∴函數(shù)f（x）的圖象在點（a₂，b₂）處的切線方程為y-2a2=2a2ln2（x-a₂），
∵在x軸上的截距為2-

1

ln2

，
∴a₂-

1

ln2

=2-

1

ln2

，∴a₂=2，
∴d=a₂-a₁=1，a_n=n，b_n=2ⁿ，a_nb_n²=n4ⁿ，
∴T_n=1•4+2•4²+3•4³+…+（n-1）•4^n-1+n•4ⁿ，
4T_n=1•4²+2•4³+…+（n-1）•4ⁿ+n•4ⁿ⁺¹，
∴T_n-4T_n=4+4²+…+4ⁿ-n•4ⁿ⁺¹=

4n+1-4

3

-n•4ⁿ⁺¹=

(1-3n)4n+1-4

3

，
∴T_n=

(3n-1)4n+1+4

9

．

點評：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念，等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式，導數(shù)的幾何意義等知識；考查學生的運算求解能力、推理論證能力，屬中檔題．