Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=

1

2

x²-2x
（1）設(shè)h（x）=f（x+1）-g（x）（其中g(shù)′（x）是g（x）的導(dǎo)函數(shù)），求h（x）的最大值；
（2）設(shè)k∈Z，當(dāng)x＞1時(shí)，不等式k（x-l）＜xf （x）+3g′（x）+4恒成立，求k的最大值．

Answer 1

（1）h（x）=f（x+1）-g′（x）=ln（x+1）-x+2，（x＞-1）
所以h′（x）=

1

x+1

-1=

-x

x+1

，當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，h′（x）＞0；當(dāng)x＞0時(shí)，h′（x）＜0．
因此，h（x）在（-1，0）上單調(diào)遞增，在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
故當(dāng)x=0時(shí)，h（x）取得最大值h（0）=2．
（2）∵xf（x）+3g′（x）+4=xlnx+3（x-2）+4=xlnx+3x-2，
∴當(dāng)x＞1時(shí)，不等式k（x-1）＜xf（x）+3g′（x）+4可化為
k＜

xlnx+3x-2

x-1

=

xlnx+x

x-1

+2，所以不等式轉(zhuǎn)化為k＜

xlnx+x

x-1

+2對(duì)任意x＞1恒成立．
令p（x）=

xlnx+x

x-1

+2，則p′（x）=

x-lnx-2

(x-1)2

，令r（x）=x-lnx-2（x＞1），則r′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

＞0
所以r（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．因?yàn)閞（3）=3-ln3-2=1-ln3＜0，r（4）=4-ln4-2=2-2ln2＞0，
所以r（x）=0在（1，+∞）上存在唯一實(shí)根x₀，且滿(mǎn)足x₀∈（3，4），
當(dāng)1＜x＜x₀時(shí)，r（x）＜0，即p′（x）＜0；當(dāng)x＞x₀時(shí)，r（x）＞0，即p′（x）＞0．
所以函數(shù)p（x）=

xlnx+x

x-1

+2在（1，x₀）上單調(diào)遞減，在（x₀，+∞）上單調(diào)遞增，又r（x₀）=x₀-lnx₀-2=0，所以lnx₀=x₀-2．
所以[p(x)]min=p(x0)=

x0lnx0+x0

x0-1

+2=

x0(lnx0+1)

x0-1

+2=

x0(x0-2+1)

x0-1

+2=x₀+2∈（5，6），
所以k＜[p（x）]_min=x₀+2∈（5，6）
故整數(shù)k的最大值是5．