Question

已知冪函數(shù)f（x）=x^a和對數(shù)函數(shù)g（x）=log_ax，其中a為不等于1的正數(shù)
（1）若冪函數(shù)的圖象過點（27，3），求常數(shù)a的值，并說明冪函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若0＜a＜1，且函數(shù)y=g（x+3）在區(qū)間[-2，-1]上總有|y|≤2，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將點的坐標代入冪函數(shù)解析式求出α，據(jù)α＞0，冪函數(shù)單調(diào)遞增．
（2）求出函數(shù)的解析式，根據(jù)0＜a＜1時，對數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減，求出函數(shù)的最值，列出不等式求出a的范圍．

解答：解：（1）∵冪函數(shù)的圖象過點（27，3），
∴3=27^α
∴a=

1

3

，
∴f(x)=x

1

3

故函數(shù)在（-∞，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)
（2）y=g（x+3）=log_a（x+3）
∵0＜a＜1，
∴y=log_a（x+3）在區(qū)間[-2，-1]上單調(diào)遞減
所以當x=-2時y取得最大值0，當x=-1時y取得最小值log_a2
∵|y|≤2
∴-log_a2≤2
a∈(0，

2

2

]

點評：本題考查利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、冪函數(shù)的性質(zhì)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及解對數(shù)不等式．