Question

17．已知函數(shù)f（x）=2sin（$\frac{3}{2}$x+φ）（π＜φ＜$\frac{3π}{2}$），其圖象經(jīng)過(guò)（$\frac{5π}{6}$，2）．
（Ⅰ）求f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[$\frac{3π}{2}$，2π]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意結(jié)合π＜φ＜$\frac{3π}{2}$可得φ值；
（Ⅱ）由x∈[$\frac{3π}{2}$，2π]，結(jié)合三角函數(shù)的值域可得．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得f（$\frac{5π}{6}$）=2sin（$\frac{3}{2}$×$\frac{5π}{6}$+φ）=2，
結(jié)合π＜φ＜$\frac{3π}{2}$可得φ=$\frac{5π}{4}$，
∴f（x）的表達(dá)式為：f（x）=2sin（$\frac{3}{2}$x+$\frac{5π}{4}$）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=2sin（$\frac{3}{2}$x+$\frac{5π}{4}$）=-2sin（$\frac{3}{2}$x+$\frac{π}{4}$），
∵x∈[$\frac{3π}{2}$，2π]，∴$\frac{3}{2}$x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{5π}{2}$，$\frac{13π}{4}$]，
∴當(dāng)$\frac{3}{2}$x+$\frac{π}{4}$=$\frac{13π}{4}$即x=2π時(shí)，函數(shù)取最大值$\sqrt{2}$；
∴當(dāng)$\frac{3}{2}$x+$\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{2}$即x=$\frac{3π}{2}$時(shí)，函數(shù)取最小值-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的最值和解析式的求解，屬基礎(chǔ)題．