Question

已知拋物線x²=2py（p＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（

2

，

1

2

），直線l的方程為y=-1．
（1）求p的值；
（2）若點(diǎn)M是直線l上任意一點(diǎn)，過(guò)M點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為于A，B兩點(diǎn)，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為N，求點(diǎn)N的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用拋物線x²=2py（p＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（

2

，

1

2

），代入可求p的值；
（2）求出切線MA、MB的方程，可得M的坐標(biāo)，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可求點(diǎn)N的軌跡方程．

解答： 解：（1）∵拋物線x²=2py（p＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（

2

，

1

2

），
∴2=2p×

1

2

，解得p=2；
（2）由（1）知，拋物線方程為x²=4y，設(shè)A（x₁，

x12

4

），B（x₂，

x22

4

），N（x，y），
∵線段AB的中點(diǎn)為N，
∴x₁+x₂=2x①，

x12

4

+

x22

4

=2y②
∵y=

1

4

x²，
∴y′=

1

2

x，
∴拋物線x²=4y在A（x₁，y₁）點(diǎn)處的切線斜率為

1

2

x₁，在B（x₂，y₂）點(diǎn)處的切線斜率為

1

2

x₂，
∴切線MA：y=

1

2

x₁（x-x₁）+

x12

4

；切線MB：y=

1

2

x₂（x-x₂）+

x22

4

，
聯(lián)立可得M（

x1+x2

2

，

x1x2

4

）③，
聯(lián)立①②③可得（2x）²=8y-8，
∴點(diǎn)N的軌跡方程為x²=2y-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查直線與拋物線相切位置關(guān)系的判斷，導(dǎo)數(shù)與曲線的切線斜率之間的關(guān)系，屬于中檔題．