Question

10．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cos（$\frac{π}{2}$+x），sin2x），b=（sin（π+x），$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]．設(shè)函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-$\frac{1}{2}$．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間：
（2）求函數(shù)f（x）的最大值和最小值．并求此時對應的x的值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用兩個向量的數(shù)量積公式，三角恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）根據(jù)x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)f（x）的最大值和最小值．并求此時對應的x的值．

解答 解：（1）由函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-$\frac{1}{2}$=cos（$\frac{π}{2}$+x）sin（π+x）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$
=-sinx•（-sinx）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z．
（2）根據(jù)x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，可得2x-$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，故sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]，
故當2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$時，f（x）取得最小值為$\frac{1}{2}$，此時，x=$\frac{π}{2}$；
當2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時，f（x）取得最大值為1，此時，x=$\frac{π}{3}$．

點評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，三角恒等變換，正弦函數(shù)的單調(diào)性以及正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．