Question

【題目】（本小題滿分分）

已知半徑為的圓的圓心在軸上，圓心的橫坐標是整數(shù)，且與直線相切．

（Ⅰ）求圓的方程．

（Ⅱ）設(shè)直線與圓相交于， 兩點，求實數(shù)的取值范圍．

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，是否存在實數(shù)，使得點到， 兩點的距離相等，若存在，求出實數(shù)的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），圓的方程是．（2）（3）

【解析】試題分析：（Ⅰ）設(shè)圓心為M（m，0）（m∈Z）．由于圓與直線4x+3y﹣29=0相切，且半徑為5，所以 ，由此能求出圓的方程．

（Ⅱ）把直線ax﹣y+5=0代入圓的方程，得，由于直線ax﹣y+5=0交圓于A，B兩點，故△＞0，由此能求出實數(shù)a的取值范圍．

（Ⅲ設(shè)符合條件的實數(shù)存在，則存在過點的直線垂直平分弦，由于垂直平分弦，故圓心必在上，從而求出實數(shù)的值．

試題解析：

（）設(shè)圓心為．

由于圓與直線相切，且半徑為，所以，即，

因為為整數(shù)，故，

故所求的圓的方程是．

（）直線即代入圓的方程，消去整理得

，

由于直線交圓于、兩點，故，

即，解得或．

所以實數(shù)的取值范圍是．

（）設(shè)符合條件的實數(shù)存在，則存在過點的直線垂直平分弦，由（）得，則直線的斜率為， 的方程為，即．

由于垂直平分弦，故圓心必在上，所以，解得．

因為．

故存在實數(shù)，使得點到， 兩點的距離相等．