Question

11．已知關(guān)于x的不等式組$\left\{\begin{array}{l}{|2x-1|＞3}\\{2{x}^{2}+（2a+5）x+5a＜0}\end{array}\right.$
（1）解集中有且只有一個整數(shù)為-3，求a的取值集合．
（2）寫出此不等式組的解集．

Answer 1

分析 （1）先化簡|2x-1|＞3和2x²+（2a+5）x+5a＜0，根據(jù)條件求出2x²+（2a+5）x+5a＜0的解集，列出不等式組求出a的取值集合；
（2）根據(jù)一元二次不等式的解法，對a進行分類討論求出2x²+（2a+5）x+5a＜0的解集，由交集的運算求出不等式組的解集．

解答 解：（1）由|2x-1|＞3得，x＜-1或x＞2，
由2x²+（2a+5）x+5a＜0得，（2x+5）（x+a）＜0，
方程2x²+（2a+5）x+5a=0兩個根是-a或$-\frac{5}{2}$，
因為不等式組的解集中有且只有一個整數(shù)為-3，
所以當$a＞\frac{5}{2}$時，2x²+（2a+5）x+5a＜0的解集為$（-a，-\frac{5}{2}）$，
則$\left\{\begin{array}{l}{a＞\frac{5}{2}}\\{-4≤-a＜-3}\end{array}\right.$，解得3＜a≤4，
所以a的取值集合是（3，4]；
（2）由（1）得|2x-1|＞3，x＜-1或x＞2，
由2x²+（2a+5）x+5a＜0，得（2x+5）（x+a）＜0，
當$a=\frac{5}{2}$時，2x²+（2a+5）x+5a＜0的解集為∅，
當$a＞\frac{5}{2}$時，2x²+（2a+5）x+5a＜0的解集為$（-a，-\frac{5}{2}）$，
當$a＜\frac{5}{2}$時，2x²+（2a+5）x+5a＜0的解集為$（-\frac{5}{2}，-a）$，
所以不等式組的解集是：
當$a=\frac{5}{2}$時，2x²+（2a+5）x+5a＜0的解集為∅，
當$a＞\frac{5}{2}$時，2x²+（2a+5）x+5a＜0的解集為$（-a，-\frac{5}{2}）$∪（2，+∞），
當1≤$a＜\frac{5}{2}$時，2x²+（2a+5）x+5a＜0的解集為$（-\frac{5}{2}，-a）$∪（2，+∞），
當a＜1時，$（-\frac{5}{2}，-1）$∪（2，+∞）．

點評 本題考查一元二次不等式以及不等式組的解法，以及分類討論思想，屬于中檔題．