Question

（2012•大連二模）△ABC中，已知AB=2

7

，BC=3

7

，AC=7．D是邊AC上一點(diǎn)，將△ABD沿BD折起，得到三棱錐A-BCD．若該三棱錐的頂點(diǎn)A在底面BCD的射影M在線段BC上，設(shè)BM=x，則x的取值范圍為（　　）

• A．（0，2

  7

  ）
• B．（0，

  7

  ）
• C．（

  7

  ，2

  7

  ）
• D．（2

  7

  ，3

  7

  ）

Answer 1

分析：根據(jù)題意可得：折疊前在圖1中，AM⊥BD，垂足為N．設(shè)圖1中A點(diǎn)在BC上的射影為M₁，運(yùn)動(dòng)點(diǎn)D并加以觀察，可得
當(dāng)D點(diǎn)與C點(diǎn)無(wú)限接近時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)M₁無(wú)限接近，所以BM＞BM₁．在圖2中根據(jù)斜邊大于直角邊，可得BM＜AB，所以BM₁＜BM＜AB．最后在△ABC中，利用余弦定理算出∠ABC=60°，然后在Rt△AM₁B中算出BM₁=

7

，可得答案．

解答：解：根據(jù)題意，可得
∵將△ABD沿BD折起，得到三棱錐A-BCD，且點(diǎn)A在底面BCD的射影M在線段BC上，
∴在圖2中，AM⊥平面BCD，MN、AN都與BD垂直
因此，折疊前在圖1中，AM⊥BD，垂足為N．
在圖1中過(guò)A作AM₁⊥BC于M₁，運(yùn)動(dòng)點(diǎn)D可得當(dāng)D點(diǎn)與C點(diǎn)無(wú)限接近時(shí)，折痕BD接近BC，此時(shí)M與點(diǎn)M₁無(wú)限接近；
在圖2中，由于AB是Rt△ABM的斜邊，BM是直角邊，所以BM＜AB．
由此可得：BM₁＜BM＜AB，
∵△ABC中，AB=2

7

，BC=3

7

，AC=7，
∴cos∠ABC=

28+63-49

2×2 7 ×3 7

=

1

2

，可得∠ABC=60°，
由此可得Rt△AM₁B中，BM₁=ABcos60°=

7

，
∴

7

＜BM＜2

7

，由BM=x可得x的取值范圍為（

7

，2

7

）．
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題以平面圖形的折疊為載體，求線段BM的取值范圍．著重考查了空間垂直位置關(guān)系的判定與性質(zhì)、余弦定理解三角形等知識(shí)，同時(shí)考查了空間想象能力與邏輯推理能力，屬于中檔題．