Question

5．已知函數f（x）=$\frac{{x}^{2}+ax-lnx}{{e}^{x}}$（其中e是自然對數的底數，a∈R）．
（ I）若曲線f（x）在x=l處的切線與x軸不平行，求a的值；
（Ⅱ）若函數f（x）在區(qū)間（0，1]上是單調函數，求a的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函數的導函數，可得f′（1）=0，得到曲線f（x）在x=1處的切線方程為y=$\frac{1+a}{e}$，結合切線與x軸不平行，可得$\frac{1+a}{e}=0$，從而求得a值；
（Ⅱ）由f′（x）=$\frac{-{x}^{2}+（2-a）x+a-\frac{1}{x}+lnx}{{e}^{x}}$，設h（x）=$-{x}^{2}+（2-a）x+a-\frac{1}{x}$，求出h′（x），可知h′（x）在（0，1]上是減函數，從而h′（x）＞h′（1）=2-a．
然后分當2-a≥0，和2-a＜0分類研究函數的單調性得答案．

解答 解：（Ⅰ）依題意，f′（x）=$\frac{-{x}^{2}+（2-a）x+a-\frac{1}{x}+lnx}{{e}^{x}}$，
f′（1）=0，且曲線f（x）在x=1處的切線方程為y=$\frac{1+a}{e}$，
∵切線與x軸不平行，故切線與x軸重合，∴$\frac{1+a}{e}=0$，即a=-1；
（Ⅱ）f′（x）=$\frac{-{x}^{2}+（2-a）x+a-\frac{1}{x}+lnx}{{e}^{x}}$，
設h（x）=$-{x}^{2}+（2-a）x+a-\frac{1}{x}$+lnx，則h′（x）=-2x+（2-a）+$\frac{1}{{x}^{2}}+\frac{1}{x}$．
h′（x）在（0，1]上是減函數，從而h′（x）＞h′（1）=2-a．
①當2-a≥0，即a≤2時，h′（x）≥0，h（x）在區(qū)間（0，1）上為增函數．
∵h（1）=0，∴h（x）≤0在（0，1]上恒成立，即f′（x）≤0在（0，1]上恒成立．
∴f（x）在（0，1]上是減函數．
∴a≤2滿足題意；
②當2-a＜0，即a＞2時，設函數h′（x）的唯一零點為x₁，
則h（x）在（0，x₁）上遞增，在（x₁，1）上遞減．
又∵h（1）=0，∴h（x₁）＞0．
又∵h（e^-a）=-e^-2a+（2-a）e^-a+a-e^a+lne^-a=-e^-2a+（2-a）e^-a-e^a＜0，
∴h（x）在（0，1）內由唯一一個零點x′，
當x∈（0，x′）時，h（x）＜0，當x∈（x′，1）時，h（x）＞0．
從而f（x）在（0，x′）上遞減，在（x′，1）上遞增，與在區(qū)間（0，1]上是單調函數矛盾．
∴a＞2不合題意．
綜上，a的最大值為2．

點評 本題考查利用導數研究函數的單調性，考查了利用導數求曲線上某點處的切線方程，體現(xiàn)了分類討論的數學思想方法，考查邏輯思維能力及推理運算能力，屬難題．