Question

（2013•西城區(qū)一模）記實(shí)數(shù)x₁，x₂，…，x_n中的最大數(shù)為max{x₁，x₂，…，x_n}，最小數(shù)為min{x₁，x₂，…，x_n}．設(shè)△ABC的三邊邊長分別為a，b，c，且a≤b≤c，定義△ABC的傾斜度為t=max{

a

b

，

b

c

，

c

a

}•min{

a

b

，

b

c

，

c

a

}．
（ⅰ）若△ABC為等腰三角形，則t=

1

；
（ⅱ）設(shè)a=1，則t的取值范圍是

[1，

1+ 5

2

)

．

Answer 1

分析：（i）分三種a=b=c、a=b＜c和a＜b=c三種情況加以討論，分別求出max{

a

b

，

b

c

，

c

a

}和min{

a

b

，

b

c

，

c

a

}的值，即可算出總有實(shí)數(shù)t=1成立，得到本題答案；
（ii）根據(jù)題意，可得max{

a

b

，

b

c

，

c

a

}=c且min{

a

b

，

b

c

，

c

a

}=

1 b       c＜b2 b c        c≥b2

，因此對c＜b²和c≥b²兩種情況加以討論，利用三角形兩邊之和大于第三邊和不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)，聯(lián)解不等式組可得t的取值范圍是[1，

1+ 5

2

）．

解答：解：（i）若a=b=c，則max{

a

b

，

b

c

，

c

a

}=min{

a

b

，

b

c

，

c

a

}=1
∴t=max{

a

b

，

b

c

，

c

a

}•min{

a

b

，

b

c

，

c

a

}=1；
若a=b＜c，則max{

a

b

，

b

c

，

c

a

}=

c

a

，min{

a

b

，

b

c

，

c

a

}=

b

c

∴t=max{

a

b

，

b

c

，

c

a

}•min{

a

b

，

b

c

，

c

a

}=

c

a

•

b

c

=

b

a

=1；
若a＜b=c，則max{

a

b

，

b

c

，

c

a

}=

c

a

，min{

a

b

，

b

c

，

c

a

}=

a

b

∴t=max{

a

b

，

b

c

，

c

a

}•min{

a

b

，

b

c

，

c

a

}=

c

a

•

a

b

=

b

c

=1
綜上所述，可得若△ABC為等腰三角形，則t=1；
（ii）∵a=1，a≤b≤c，
∴max{

a

b

，

b

c

，

c

a

}=max{

1

b

，

b

c

，c}=c
而min{

a

b

，

b

c

，

c

a

}=min{

1

b

，

b

c

，c}=

1 b       c＜b2 b c        c≥b2

①當(dāng)c＜b²時(shí)，t=c•

1

b

=

c

b

，可得c=tb，（t≥1）
∵由1+b＞c，得1+b＞tb，∴t≠1時(shí)，b＜

1

t-1

∵c=tb＜b²，∴t＜b，可得t＜

1

t-1

，解之得1＜t＜

1+ 5

2

而t=1時(shí)，b=c＞a=1，符合題意．所以此時(shí)t的范圍為[1，

1+ 5

2

）
②當(dāng)c≥b²時(shí)，t=c•

b

c

=b，可得
∵1+b＞c且c≥b²，
∴1+b＞b²，解之得1≤b＜

1+ 5

2

即1≤t＜

1+ 5

2

，得此時(shí)t的范圍為[1，

1+ 5

2

）
綜上所述，可得當(dāng)a=1時(shí)，t的取值范圍是[1，

1+ 5

2

）．
故答案為：1，[1，

1+ 5

2

）

點(diǎn)評：本題給出三角形三邊中任意兩邊的比值，求它們的最大值與最小值之積的取值范圍，著重考查了函數(shù)最值的意義、三角形兩邊之和大于第三邊、不等式的基本性質(zhì)和不等式的解法等知識，屬于中檔題．