Question

由不等式組

x-y+5≥0 y≥t 0≤x≤2

圍成的三角形區(qū)域內(nèi)有一個內(nèi)切圓，向該三角形區(qū)域內(nèi)隨機投一個點，該點落在圓內(nèi)的概率是關(guān)于t的函數(shù)P（t），則（　　）

A．P′（t）＞0

B．P′（t）＜0

C．P′（t）=0

D．P′（t）符號不確定

Answer 1

分析：根據(jù)題意，分析t的取值范圍，再設(shè)區(qū)域邊界的三條直線的交點分別為ABC，結(jié)合圖形易得△ABC是等腰直角三角形，且AB=7-t，即可得其面積，又由直角三角形的性質(zhì)，可得其內(nèi)切圓的半徑，進而可得其面積，由幾何概型可得點落在圓內(nèi)的概率，可得求得P（t），由導數(shù)的計算可得p′（t），即可得答案．

解答：解：根據(jù)題意，設(shè)直線x-y+5=0與x=2交于點A，易得A（2，7），
若不等式組

x-y+5≥0 y≥t 0≤x≤2

能圍成的三角形區(qū)域，易得5＜t＜7，
則其邊界直線為y=t，x-y+5=0，x=2，設(shè)x-y+5=0與y=t交于點C，x=2與y=t交于點B，則B（2，t）
分析可得△ABC是等腰直角三角形，且AB=7-t，
則其面積為S=

1

2

（7-t）²，
易得內(nèi)接圓半徑r=

(2- 2 )(7-t)

2

，
其面積為S₁=

1

4

π（2-

2

）²（7-t）²，
p（t）=

S1

S

=

6-4 2

4

，該值與t無關(guān)，
所以P′（t）=0．
故選C．

點評：本題考查幾何概型的計算，關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)三角形ABC為直角等腰三角形，進而可以求出其面積與內(nèi)接圓的面積．