Question

1．如圖，棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
（1）求證：面A₁C₁D∥面ACB₁；
（2）求證：BD₁⊥平面ACB₁；
（3）求：B₁D₁與平面ACB₁所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）先推導(dǎo)出A₁C₁∥AC，A₁D∥B₁C，由此能證明面A₁C₁D∥面ACB₁．
（2）先推導(dǎo)出AC⊥BD，BB₁⊥AC，從而AC⊥平面BDB₁，進而BD₁⊥AC，同理，BD₁⊥AB₁，由此能證明BD₁⊥平面ACB₁．
（3）以D₁為原點，D₁A₁為x軸，D₁C₁為y軸，D₁D為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出B₁D₁與平面ACB₁所成角的余弦值．

解答 證明：（1）在長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵A₁C₁∥AC，A₁D∥B₁C，
A₁C₁∩A₁B=A₁，AC∩B₁C=C，
∴面A₁C₁D∥面ACB₁．
（2）∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁⊥AC，
又BB₁∩BD=B，∴AC⊥平面BDB₁，
∵BD₁?平面BDB₁，∴BD₁⊥AC，
同理，BD₁AB₁，∵AC∩AB₁=A，∴BD₁⊥平面ACB₁．
解：（3）以D₁為原點，D₁A₁為x軸，D₁C₁為y軸，D₁D為z軸，
建立空間直角坐標系，
則B₁（1，1，0），D₁（0，0，0），A（1，0，1），C（0，1，1），
$\overrightarrow{{B}_{1}{D}_{1}}$=（-1，-1，0），$\overrightarrow{AC}$=（-1，1，0），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，1，-1），
設(shè)平面ACB₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=-x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=y-z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，1），
設(shè)B₁D₁與平面ACB₁所成角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{{B}_{1}{D}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{{B}_{1}{D}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-1-1|}{\sqrt{2}•\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，∴cosθ=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{6}}{3}}）^{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴B₁D₁與平面ACB₁所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查面面平行、線面垂直的證明，考查直線與平面所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．