Question

如圖1，在直角梯形A₁A₂A₃D中，A₁A₂⊥A₁D，A₁A₂⊥A₂A₃，且B，C分別是邊A₁A₂，A₂A₃上的點(diǎn)，沿線段 BC，CD，DB分別將△BCA₂，△CDA₃，△DBA₁翻折上去恰好使 A₁，A₂，A₃重合于一點(diǎn)A（如圖2）
（1）求證：AB⊥CD；
（2）已知A₁D=10，A₁A₂=8，試求：BD與平面ABC所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專(zhuān)題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）要證AB⊥CD，先證AB⊥面ACD，在其展成的平面圖形中A₁B⊥A₁D，A₂B⊥A₂C，從而得到AB⊥AC，AB⊥AD，可得線面垂直，即可得線線垂直．
（2）過(guò)D作DE⊥AC于E，連接BE，證明∠DBE即BD與平面ABC所成的角，求出DE，BD，即可求：BD與平面ABC所成角的正弦值．

解答： （1）證明：∵AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD=A，AC、AD?平面ACD，
∴AB⊥平面ACD，…（4分）
又∵CD?平面ACD，
∴AB⊥CD…（6分）
（2）解：過(guò)D作DE⊥AC于E，連接BE，
∵AB⊥平面ACD，∴AB⊥DE
而AB∩AC=A，可得DE⊥平面ABC，
∴∠DBE即BD與平面ABC所成的角，…（10分）
∵B、C分別為A₁A₂和A₂A₃的中點(diǎn)，A₁B=A₂B=AB=4，A₁D=A₃D=AD=10，
∴在直角梯形A₁A₂A₃D中，求得A₂A₃=16，A₂C=A₃C=AC=8，DE=A₁A₂=8，…（12分）
在直角三角形ABD中，求得BD=2

29

，…（13分）
∴在直角三角形DEB中，sin∠DBE=

DE

BD

=

8

2 29

=

4 29

29

…（15分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查空間線面關(guān)系、直線與平面所成角等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力．