設(shè)數(shù)列｛an｝滿足an+1=an2－nan+1，n=1，2，3，….

（1）當(dāng)a1=2時(shí)，求a2、a3、a4，并由此猜想出an的一個(gè)通項(xiàng)公式；

（2）當(dāng)a1≥3時(shí)，證明所有n≥1，有an≥n+2.

（1）解：由a1=2，得a2=a12－a1+1=3；由a2=3，得a3=a22－2a2+1=4；由a3=4，得a4=a32－3a3+1=5.由此猜想an的一個(gè)通項(xiàng)公式an=n+1（n≥1）.

（2）證明：①當(dāng)n=1時(shí)，a1≥3=1+2，不等式成立.

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)不等式成立，即ak≥k+2，那么ak+1=ak（ak－k）+1≥（k+2）（k+2－k）+1≥k+3.也就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，ak+1≥（k+1）+2.

由①和②知對所有n≥1，有an≥n+2.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=x2-ax+a（x∈R）同時(shí)滿足：①不等式f（x）≤0的解集有且只有一個(gè)元素；②在定義域內(nèi)存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=f（n），
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）試構(gòu)造一個(gè)數(shù)列{bn}，（寫出{bn}的一個(gè)通項(xiàng)公式）滿足：對任意的正整數(shù)n都有bn＜an，且
lim
n→∞
an
bn
=2，并說明理由；
（3）設(shè)各項(xiàng)均不為零的數(shù)列{cn}中，所有滿足ci-ci+1＜0的正整數(shù)i的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列{cn}的變號數(shù)．令cn=1-
a
an
（n為正整數(shù)），求數(shù)列{cn}的變號數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}滿足：a1=2，an+1=1-
1
an
，記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之積為Πn，則Π2011的值為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•天津模擬）設(shè)數(shù)列{an} 滿足a1=a，an+1=can+1-c（n∈N*），其中a、c為實(shí)數(shù)，且c≠0．
（1）求數(shù)列{an} 的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)a=
1
2
，c=
1
2
，bn=n（a-an）（n∈N*），求數(shù)列 {bn}的前n項(xiàng)和Sn．
（3）設(shè)a=
3
4
，c=-
1
4
，cn=
3+an
2-an
（n∈N*），記dn=c2n-c2n-1(n∈N*)，設(shè)數(shù)列{dn}的前n項(xiàng)和為Tn，求證：對任意正整數(shù)n都有Tn＜
3
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2006•南京一模）已知函數(shù)f（x）=2+
1
x
．?dāng)?shù)列{an}中，a1=a，an+1=f（an）（n∈N*）．當(dāng)a取不同的值時(shí)，得到不同的數(shù)列{an}，如當(dāng)a=1時(shí)，得到無窮數(shù)列1，3，
7
3
，
17
7
，…；當(dāng)a=-
1
2
時(shí)，得到有窮數(shù)列-
1
2
，0．
（1）求a的值，使得a3=0；
（2）設(shè)數(shù)列{bn}滿足b1=-
1
2
，bn=f(bn+1)(n∈N*)，求證：不論a取{bn}中的任何數(shù)，都可以得到一個(gè)有窮數(shù)列{an}；
（3）求a的取值范圍，使得當(dāng)n≥2時(shí)，都有
7
3
＜an＜3．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•嘉定區(qū)一模）（理）已知函數(shù)f(x)=log2
2
x
1-x
，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是f（x）圖象上兩點(diǎn)．
（1）若x1+x2=1，求證：y1+y2為定值；
（2）設(shè)Tn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)，其中n∈N*且n≥2，求Tn關(guān)于n的解析式；
（3）對（2）中的Tn，設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=2，當(dāng)n≥2時(shí)，an=4Tn+2，問是否存在角a，使不等式(1-
1
a1
)(1-
1
a2
)…(1-
1
an
)＜
sinα
2n+1
對一切n∈N*都成立？若存在，求出角α的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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