已知點(diǎn)M（
5
，
4
3
）是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線，垂足恰好為橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)E（4，0）的直線l與圓x2+y2=4相切，且與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|．
考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)
專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（Ⅰ）由已知得c=
5
，將點(diǎn)M（
5
，
4
3
）代入方程
x2
a2
+
y2
b2
=1；及a，b，c三者關(guān)系式得方程組，求出a，b得到方程．
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=k（x-4）即kx-y-4k=0，由已知得
|4k|
1+k2
=2求出直線方程，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立求出交點(diǎn)坐標(biāo)，由|AB|=
1+k2
|x1-x2|求得．
解答： 解：（Ⅰ）由已知得c=
5
，
5
a2
+
16
9b2
=1
a2-b2=5

解得
a2=9
b2=4

∴橢圓C的方程為
x2
9
+
y2
4
=1
（Ⅱ）以題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=k（x-4）即kx-y-4k=0，
由
|4k|
1+k2
=2
得k2=
1
3
即k=±
3
3

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
由
y=
3
3
(x-4)
x2
9
+
y2
4
=1
消去y得7x2-24x+12=0
解得x1=
12-2
15
7
，x2=
12+2
15
7

又|AB|=
1+k2
|x1-x2|=
1+
1
3
×
4
15
7

∴|AB|=
8
5
7
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓中三個(gè)參數(shù)a，b，c的關(guān)系，直線與圓相切的充要條件及直線與橢圓相交的弦長(zhǎng)的求法，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

等比數(shù)列{an}中，已知a3=8，a6=64
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若a3和a6分別為等差數(shù)列{bn}的第3項(xiàng)和第5項(xiàng)，試求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x3-3ax（a是常數(shù)），函數(shù)g（x）=|f（x）|．
（Ⅰ）若a＞0，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）求函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，1]上的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知曲線y=f（x）=5
x
，求：
（1）曲線與直線y=2x-4平行的切線的方程．
（2）過(guò)點(diǎn)P（0，5）且與曲線相切的直線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2
3
sinxcosx+cos2x．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最大值及相應(yīng)x的取值集合；
（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象向左平移
π
12
個(gè)單位得到函數(shù)g（x）的圖象，試求函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)a，b是互不相等的正數(shù)，求證：（
b2
a
+
a2
b
）（
b
a
+
a
b
）（
1
a
+
1
b
）＞8．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知m∈R且m≠0，直線l：mx-（m2+1）y=4m，圓C：x2+y2-8x+4y+16=0，則直線l與圓C相交所得弦長(zhǎng)的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知集合A={1，3，5}，B={-1，0，1}，則A∩B=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

閱讀如圖所示的程序圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出的結(jié)果s=
 

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