Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）和數(shù)列{a_n}滿足下列條件：a_n=f（a_n-1）（n=2，3，4，…），f(an)-f(an-1)=

an-an-1

2

(n=2，3，4，…），若a₁=30，a₂=60，令b_n=a_n+1-a_n（n∈N₊）．
（I）證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（II）設(shè)c_n=log₂b_n，S_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，求使S_n取最大值時的n值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)b_n=a_n+1-a_n，進而表示出b_n+1=，求得

bn+1

bn

為定值，判斷數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，公比為

1

2

，通過b₁=a₂-a₁求得數(shù)列的首項，進而根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求得數(shù)列{b_n}的通項公式．
（2）把（1）求得的b_n代入c_n，進而可求得c_n+1-c_n結(jié)果為定值，且小于0可判斷出數(shù)列{c_n}是遞減的等差數(shù)列，令c_n＞0得n＜2+log₂15，求得數(shù)列{c_n}的前5項都是正的，第6項開始全部是負的，進而可判斷n=5時，S_n取最大值．

解答：解：（I）∵b_n=a_n+1-a_n，∴b_n+1=a_n+2-a_n+1，
∴

bn+1

bn

=

an+2-an+1

an+1-an

=

f(an+1)-f(an)

an+1-an

=

an+1-an 2

an+1-an

=

1

2

∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，
∵b₁=a₂-a₁=30∴bn=15•(

1

2

)n-2．
（II）c_n=log₂15+2-n，
∵c_n+1-c_n=-1，
∴數(shù)列{c_n}是遞減的等差數(shù)列，
令c_n＞0得n＜2+log₂15，∵log₂15∈（3，4），
∴2+log₂15∈（5，6）
∴數(shù)列{c_n}的前5項都是正的，第6項開始全部是負的，
∴n=5時，S_n取最大值．

點評：本題主要考查了等比關(guān)系的確定和等比數(shù)列的通項公式．涉及了數(shù)列和不等式問題的綜合考查．