Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

a

3

x³+bx²+4cx+d的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f（x）的圖象在點(diǎn)P（1，m）處的切線的斜率為-6，且當(dāng)x=2時(shí)，f（x）有極值．
（1）求a、b、c、d的值；
（2）求f （x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若x₁，x₂∈[-1，1]，求證：|f（x₁）-f（x₂）|≤

44

3

．

Answer 1

分析：（1）欲求實(shí)數(shù)a、b、c、d的值，利用在x=1處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率結(jié)合f′（2）=0．從而問(wèn)題解決．
（2）把（1）求出的實(shí)數(shù)a、b、c、d的值代入導(dǎo)函數(shù)中確定出解析式，令導(dǎo)函數(shù)等于0求出x的值，根據(jù)x的值分區(qū)間討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，進(jìn)而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（3）由（2）知f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減，當(dāng)x∈[-1，1]時(shí) f（1）≤f（x）≤f（-1）即|f（x）|≤

22

3

，進(jìn)一步得到|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x₁）|+|f（x₂）|≤

22

3

+

22

3

=

44

3

從而得到證明．

解答：解：（1）f′（x）=ax²+2bx+4c由條件可得b=d=0，f'（1）=-6，f′（2）=0
∴a+4c=-6，4a+4c=0 解得 a=2，c=-2
故a=2，b=0，c=-2，d=0．′（4分）
（2）∵f（x）=

2

3

x³-8x，∴f'（x）=2x²-8=2（x+2）（x-2）
令f'（x）＞0得x＜-2或x＞2，令f′（x）＜0得-2＜x＜2．
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（和[2，+∞）；f（x）的單調(diào)減區(qū)間為[-2，2]．（8分）
（3）證明：由（2）知f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減
∴當(dāng)x∈[-1，1]時(shí) f（1）≤f（x）≤f（-1）即-

22

3

≤f（x）≤

22

3

亦即|f（x）|≤

22

3

故當(dāng)x₁，x₂∈[-1，1]時(shí)，|f（x₁）|≤

22

3

，|f（x₂）|≤

22

3

．
從而|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x₁）|+|f（x₂）|≤

22

3

+

22

3

=

44

3

即|f（x₁）-f（x₂）|≤

44

3

．…（5分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過(guò)某點(diǎn)切線方程的斜率，會(huì)利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性并根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值，是一道中檔題．