【題目】已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)當(dāng),為兩個(gè)不相等的正數(shù),證明:.
【答案】(1)時(shí),在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù);時(shí),在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù);在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù); (2)見(jiàn)解析.
【解析】
(1)求出,分兩種種情況討論的范圍,在定義域內(nèi),分別令求得的范圍,可得函數(shù)增區(qū)間,求得的范圍,可得函數(shù)的減區(qū)間;(2)設(shè),原不等式等價(jià)于,令,則原不等式也等價(jià)于即.設(shè),利用導(dǎo)數(shù)可得在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù),,從而可得結(jié)論.
(1)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,.
若,,則在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù);
若,令,得.則當(dāng)時(shí),,在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù);當(dāng)時(shí),,在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù).
(2)當(dāng)時(shí),.不妨設(shè),則原不等式等價(jià)于,
令,則原不等式也等價(jià)于即.
下面證明當(dāng)時(shí),恒成立.
設(shè),則,
故在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù),,即,
所以.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓C:過(guò)點(diǎn)A,兩個(gè)焦點(diǎn)為(-1,0),(1,0)。
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)E,F是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù),證明直線EF的斜率為定值,并求出這個(gè)定值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】人的正常體溫在至之間,下圖是一位病人在治療期間的體溫變化圖.
現(xiàn)有下述四個(gè)結(jié)論:
①此病人已明顯好轉(zhuǎn);
②治療期間的體溫極差小于;
③從每8小時(shí)的變化來(lái)看,25日0時(shí)~8時(shí)體溫最穩(wěn)定;
④從3月22日8時(shí)開(kāi)始,每8小時(shí)量一次體溫,若體溫不低于就服用退燒藥,根據(jù)圖中信息可知該病人服用了3次退燒藥.
其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是( )
A.③④B.②③C.①②④D.①②③
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+2alnx.
(1)若函數(shù)f(x)的圖象在(2,f(2))處的切線斜率為1,求實(shí)數(shù)a的值;
(2)若函數(shù)在[1,2]上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)無(wú)窮數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知,.
(1)求的值;
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(3)是否存在數(shù)列的一個(gè)無(wú)窮子數(shù)列,使對(duì)一切均成立?若存在,請(qǐng)寫出數(shù)列的所有通項(xiàng)公式;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為增強(qiáng)市民交通規(guī)范意識(shí),我市面向全市征召勸導(dǎo)員志愿者,分布于各候車亭或十字路口處.現(xiàn)從符合條件的500名志愿者中隨機(jī)抽取100名志愿者,他們的年齡情況如下表所示.
分組(單位:歲) | 頻數(shù) | 頻率 |
5 | ||
① | ||
② | ||
合計(jì) |
(1)頻率分布表中的①、②位置應(yīng)填什么數(shù)據(jù)?并在答題卡中補(bǔ)全頻率分布直方圖(如圖),再根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這500名志愿者中年齡在[30,35)歲的人數(shù);
(2)在抽出的100名志愿者中按年齡再采用分層抽樣法抽取20人參加“規(guī)范摩的司機(jī)的交通意識(shí)”培訓(xùn)活動(dòng),從這20人中選取2名志愿者擔(dān)任主要負(fù)責(zé)人,記這2名志愿者中“年齡低于30歲”的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足;數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足,,.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(3)是否存在正整數(shù),使得恰為數(shù)列中的一項(xiàng)?若存在,求滿足要求的那幾項(xiàng);若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某公司為了提高職工的健身意識(shí),鼓勵(lì)大家加入健步運(yùn)動(dòng),要求200名職工每天晚上9:30上傳手機(jī)計(jì)步截圖,對(duì)于步數(shù)超過(guò)10000的予以獎(jiǎng)勵(lì).圖1為甲乙兩名職工在某一星期內(nèi)的運(yùn)動(dòng)步數(shù)統(tǒng)計(jì)圖,圖2為根據(jù)這星期內(nèi)某一天全體職工的運(yùn)動(dòng)步數(shù)做出的頻率分布直方圖.
(1)在這一周內(nèi)任選兩天檢查,求甲乙兩人兩天全部獲獎(jiǎng)的概率;
(2)請(qǐng)根據(jù)頻率分布直方圖,求出該天運(yùn)動(dòng)步數(shù)不少于15000的人數(shù),并估計(jì)全體職工在該天的平均步數(shù);
(3)如果當(dāng)天甲的排名為第130名,乙的排名為第40名,試判斷做出的是星期幾的頻率分布直方圖.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù) (a∈R,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),,其中在x=0處的切線方程為y=bx.
(1)求a,b的值;
(2)求證:;
(3)求證:有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).
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