【題目】設(shè),橢圓
:
與雙曲線(xiàn)
:
的焦點(diǎn)相同.
(1)求橢圓與雙曲線(xiàn)
的方程;
(2)過(guò)雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn)作兩條斜率分別為
,
的直線(xiàn)
,
,分別交雙曲線(xiàn)
于點(diǎn)
,
(
,
不同于右頂點(diǎn)),若
,求證:直線(xiàn)
的傾斜角為定值,并求出此定值;
(3)設(shè)點(diǎn),若對(duì)于直線(xiàn)
,橢圓
上總存在不同的兩點(diǎn)
與
關(guān)于直線(xiàn)
對(duì)稱(chēng),且
,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
【答案】(1)橢圓的方程為
,雙曲線(xiàn)
的方程為
;(2)詳見(jiàn)解析.(3)見(jiàn)解析。
【解析】
(1)利用橢圓和雙曲線(xiàn)的性質(zhì),結(jié)合焦點(diǎn)相同,建立方程,計(jì)算m值,即可。(2)設(shè)出直線(xiàn)方程,代入雙曲線(xiàn)方程,建立等式,計(jì)算P的坐標(biāo),同理得到Q的坐標(biāo),結(jié)合
,可以得到
,發(fā)現(xiàn)直線(xiàn)PQ與x軸平行,故證之。(3)結(jié)合題意,設(shè)出直線(xiàn)AB的方程,代入橢圓解析式中,建立方程,計(jì)算出AB的中點(diǎn)M坐標(biāo),而M又在直線(xiàn)l上,代入,結(jié)合題目所提供的不等式,建立不等關(guān)系,即可得到b的范圍。
解:(1)由題意,,所以
.
所以橢圓的方程為
,雙曲線(xiàn)
的方程為
.
(2)雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn)為
,因?yàn)?/span>
,不妨設(shè)
,則
,
設(shè)直線(xiàn)的方程為
,
由,得
,
則,(
),
.
同理,,
,
又,所以
,
.
因?yàn)?/span>,所以直線(xiàn)
與
軸平行,即
為定值
,傾斜角為0. ,
(3)設(shè),
,直線(xiàn)
的方程為
,
由整理得
,
△,故
.
,
,
設(shè)的中點(diǎn)為
,則
,
,
又在直線(xiàn)
上,所以
,
.
因?yàn)?/span>,
,
所以
,所以
.又
,
。
即.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】四棱錐S-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,側(cè)面底面ABCD,已知
,
為正三角形.
(1)證明.
(2)若,
,求二面角
的大小的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若,求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)在區(qū)間
上不單調(diào),求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(3)求證:或
是函數(shù)
在
上有三個(gè)不同零點(diǎn)的必要不充分條件.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2019年4月,河北、遼寧、江蘇、福建、湖北、湖南、廣東、重慶等8省市發(fā)布高考綜合改革實(shí)施方案,決定從2018年秋季入學(xué)的高中一年級(jí)學(xué)生開(kāi)始實(shí)施“”高考模式.所謂“
”,即“3”是指考生必選語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)這三科;“1”是指考生在物理、歷史兩科中任選一科;“2”是指考生在生物、化學(xué)、思想政治、地理四科中任選兩科.
(1)若某考生按照“”模式隨機(jī)選科,求選出的六科中含有“語(yǔ)文,數(shù)學(xué),外語(yǔ),物理,化學(xué)”的概率.
(2)新冠疫情期間,為積極應(yīng)對(duì)“”新高考改革,某地高一年級(jí)積極開(kāi)展線(xiàn)上教學(xué)活動(dòng).教育部門(mén)為了解線(xiàn)上教學(xué)效果,從當(dāng)?shù)夭煌瑢哟蔚膶W(xué)校中抽取高一學(xué)生2500名參加語(yǔ)數(shù)外的網(wǎng)絡(luò)測(cè)試,并給前400名頒發(fā)榮譽(yù)證書(shū),假設(shè)該次網(wǎng)絡(luò)測(cè)試成績(jī)服從正態(tài)分布,且滿(mǎn)分為450分.
①考生甲得知他的成績(jī)?yōu)?/span>270分,考試后不久了解到如下情況:“此次測(cè)試平均成績(jī)?yōu)?/span>171分,351分以上共有57人”,請(qǐng)用你所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)估計(jì)甲能否獲得榮譽(yù)證書(shū),并說(shuō)明理由;
②考生丙得知他的實(shí)際成績(jī)?yōu)?/span>430分,而考生乙告訴考生丙:“這次測(cè)試平均成績(jī)?yōu)?/span>201分,351分以上共有57人”,請(qǐng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)幫助丙同學(xué)辨別乙同學(xué)信息的真?zhèn),并說(shuō)明理由.
附:;
;
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)的拋物線(xiàn)
與
軸交于
兩點(diǎn),其中點(diǎn)
的坐標(biāo)為
,與
軸交于點(diǎn)
,作直線(xiàn)
.
(1)求拋物線(xiàn)的解析式;
(2)如圖,點(diǎn)是直線(xiàn)
下方拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連結(jié)
.當(dāng)
面積最大時(shí),求點(diǎn)
的坐標(biāo);
(3)如圖,在(2)的條件下,過(guò)點(diǎn)作于
點(diǎn)
交
軸于點(diǎn)
將
繞點(diǎn)
旋轉(zhuǎn)得到
在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,當(dāng)點(diǎn)
或點(diǎn)
落在
軸上(不與點(diǎn)
重合)時(shí),將
沿射線(xiàn)
平移得到
,在平移過(guò)程中,平面內(nèi)是否存在點(diǎn)
使得四邊形
是菱形?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)
的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形是邊長(zhǎng)為
的正方形,
為等腰三角形,
,平面
平面
,動(dòng)點(diǎn)
在棱
上,無(wú)論點(diǎn)
運(yùn)動(dòng)到何處時(shí),總有
.
(1)試判斷平面與平面
是否垂直,并證明你的結(jié)論;
(2)若點(diǎn)為
中點(diǎn),求三棱錐
的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】天津市某高中團(tuán)委在2019年12月4日開(kāi)展了以“學(xué)法、遵法、守法”為主題的學(xué)習(xí)活動(dòng).為檢查該學(xué)校組織學(xué)生學(xué)習(xí)的效果,現(xiàn)從該校高一、高二、高三的學(xué)生中分別選取了4人,3人,3人作為代表進(jìn)行問(wèn)卷測(cè)試.具體要求:每位學(xué)生要從10個(gè)有關(guān)法律、法規(guī)的問(wèn)題中隨機(jī)抽出4個(gè)問(wèn)題進(jìn)行作答.
(1)若從這10名學(xué)生中任選3人,求這3名學(xué)生分別來(lái)自三個(gè)年級(jí)的概率;
(2)若這10人中的某學(xué)生能答對(duì)10道題中的7道題,另外3道題回答不對(duì),記表示該名學(xué)生答對(duì)問(wèn)題的個(gè)數(shù),求隨機(jī)變量
的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】焦距為的橢圓
(
),如果滿(mǎn)足“
”,則稱(chēng)此橢圓為“等差橢圓”.
(1)如果橢圓(
)是“等差橢圓”,求
的值;
(2)如果橢圓 (
)是“等差橢圓”,過(guò)
作直線(xiàn)
與此“等差橢圓”只有一個(gè)公共點(diǎn),求此直線(xiàn)的斜率;
(3)橢圓(
)是“等差橢圓”,如果焦距為12,求此“等差橢圓”的方程;
(4)對(duì)于焦距為12的“等差橢圓”,點(diǎn)為橢圓短軸的上頂點(diǎn),
為橢圓上異于
點(diǎn)的任一點(diǎn),
為
關(guān)于原點(diǎn)
的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)(
也異于
),直線(xiàn)
分別與
軸交于
兩點(diǎn),判斷以線(xiàn)段
為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)?說(shuō)明理由.
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