已知n∈N*，求證：
1
1×20
+
1
2×21
+
1
3×22
+…+
1
n×2n-1
＜
3
2
．
分析：由 
1
1×20
+
1
2×21
+
1
3×22
+…+
1
n×2n-1
≤1+
1
22
+
1
23
+…+
1
2n
 
利用等比數(shù)列的求和公式求得其值為  1+
1
4
[1-(
1
2
)n-1]
1-
1
2
=
3
2
-(
1
2
)n，顯然小于 
3
2
．
解答：證明：∵
1
1×20
+
1
2×21
+
1
3×22
+…+
1
n×2n-1
≤1+
1
22
+
1
23
+…+
1
2n
 
=1+
1
4
[1-(
1
2
)n-1]
1-
1
2
=
3
2
-(
1
2
)n＜
3
2
，
故
1
1×20
+
1
2×21
+
1
3×22
+…+
1
n×2n-1
＜
3
2
 成立．
點評：本題考查用放縮法證明不等式，等比數(shù)列的求和公式，利用當(dāng)n≥2時
1
n×2n-1
≤
1
2n
，是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)y=f（x）對任意實數(shù)x，都有f（x）=2f（x+1），當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=
27
4
x2（1-x）．
（Ⅰ）已知n∈N+，當(dāng)x∈[n，n+1]時，求y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）求證：對于任意的n∈N+，當(dāng)x∈[n，n+1]時，都有|f（x）|≤
1
2n
；
（Ⅲ）對于函數(shù)y=f（x）（x∈[0，+∞），若在它的圖象上存在點P，使經(jīng)過點P的切線與直線x+y=1平行，那么這樣點有多少個？并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2008•湖北模擬）已知曲線C：y=x2（x＞0），過C上的點A1（1，1）作曲線C的切線l1交x軸于點B1，再過B1作y軸的平行線交曲線C于點A2，再過A2作曲線C的切線l2交x軸于點B2，再過B2作y軸的平行線交曲線C于點A&3，…，依次作下去，記點An的橫坐標(biāo)為an（n∈N*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）記bn=（8-2n）an，設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求證：0＜Tn≤4．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知An（n,an）為函數(shù)y1=圖象上的點，Bn(n,bn)為函數(shù)y2=x圖象上的點，設(shè)?cn=an-bn,其中n∈N*.

(1)求證：數(shù)列{cn}既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列;

(2)試比較cn與cn+1的大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2007-2008學(xué)年湖北省“鄂南高中、黃石二中、華師一附中、荊州中學(xué)、孝感高中、襄樊四中、襄樊五中、黃岡中學(xué)”八校高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知曲線C：y=x2（x＞0），過C上的點A1（1，1）作曲線C的切線l1交x軸于點B1，再過B1作y軸的平行線交曲線C于點A2，再過A2作曲線C的切線l2交x軸于點B2，再過B2作y軸的平行線交曲線C于點A&3，…，依次作下去，記點An的橫坐標(biāo)為an（n∈N*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）記bn=（8-2n）an，設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求證：0＜Tn≤4．

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